TRANSFORMATION DES INTÉGRALES MULTIPLES

334. Intégrale de surface. — Désignons par S une surface fermée simple, analogue à une sphère ou à un tore, ou bien une portion finie de surface, limitée par un contour fermé C, analogue aune calotte sphérique limitée par un cercle.

Soit Oxyz un trièdre de coordonnées rectangulaires auquel est rapportée la surface S ; nous rappelons que pour un premier observateur placé en 0 sur le plan des ary, dans la direction de Oz, le sens positif de rotation est celui dans lequel il faut faire tourner une droite primitivement confondue avec Ox pour Tamener à coïncider

avec Oy en décrivant Tangle — • Avec la disposition habituelle des

axes dans Tespace, c'est le sens de gauche à droite ; avec la disposition adoptée en géométrie plane, c'est le sens de droite à gauche, comme en trigonométrie.

Imaginons maintenant un deuxième observateur s'appuyant normalement sur la surface S, d'un côté donné à Tavance, et cheminant sur cette surface; pour simplifier les énoncés, nous appellerons face positive de S la face sur laquelle il s'appuie constamment, et normale positive en un point la demi-droite comptée sur la normale à partir de ce point et dirigée du côté de l'observateur; par exemple, sur une sphère, nous choisirons comme positives la face extérieure et la normale vers l'extérieur.

Dans le cas où l'on considère une portion de surface limitée par un contour C et un sens de déplacement sur ce contour, on dit que

ce sens est le sens direct ou positif si le deuxième observateur debout sur la face positive de la surface et près du contour voit le déplacement s'effectuer sur le contour dans le sens que nous avons appelé sens positif pour le premier observateur placé sur Oz .

Cela posé, soit C{x, y, z) une fonction continue des trois variables Xf y, z; nous allons définir ce qu'on entend par Tintégrale double

(1) fjc{x,y,z)dxdy

étendue à la surface S. Nous nous placerons d'abord dans le cas où cette surface est rencontrée en un seul point par une parallèle à 0:: , et nous désignerons par A sa projection sur le plan des xy ; z sera une fonction déterminée de x et y ; nous la supposerons continue et nous rappellerons z = /"(x, y).

Nous remplacerons dans C, z par sa valeur en fonction de Xyy^

nous calculerons la valeur de l'intégrale double / / C[x, y,f{x, y)]dx dy

étendue à Taire A du plan des xy, et nous multiplierons le résultat par -h 1 ou par — 1 suivant que la normale positive à la surface S, choisie comme nous l'avons dit, fait avec Oz un angle aigu ou un angle obtus ; le résultat obtenu sera par définition la valeur de l'intégrale (1), étendue à la surface S.

Désignons par A<t ou d<i un élément d'aire de S, élément essentiellement positif, par x, y, z les coordonnées d'un point de cet élément, et par y l'angle aigu ou obtus que fait avec Oz la normale positive en ce point ; nous pouvons démontrer que la somme 2 C{x, y, z) cos y A<r, étendue à tous les éléments de la surface S, a une limite, et que cette limite, que nous désignerons par

(2) ffc{x,y,z)cosyda,

est égale à l'intégrale (1).

En effet, si y est aigu, le produit cos y Ad est positif et est égal à la projection AA de Aœ sur le plan xOy (n° 319); si, au contraire, y est obtus, ce produit est négatif et est égal à — AA. On a donc, en remplaçant z par sa valeur,

2 C(x, y, z) cos Y A(T = zb 2; C[x, y, f{x, y)] AA,

OÙ Ton prend le signe -h ou le signe — au second membre suivant que Y est aigu ou obtus; en passant à la limite, on a Tégalité

ff C(x, y, z) cos Y Jff = =b JJ^ C[x, y, f[x, y)\dx dy ;

mais le second membre représente dans tous les cas la valeur de l'intégrale (1), par suite, les intégrales (1) et (2) sont toujours égales.

Supposons maintenant que la surface S soit rencontrée en plusieurs points par une parallèle à Oz ; nous la décomposerons en portions rencontrées chacune par une telle droite en un seul point ; nous calculerons la valeur de l'intégrale (i) relative à chacune de ces portions et nous ferons la somme des résultats. L'égalité des intégrales (1) et (2), qui a lieu pour chacune des portions de surface, a encore lieu pour la surface totale S.

Les mêmes définitions et les mêmes raisonnements seraient applicables à des intégrales doubles de la forme

fj^H^>y,^)dydz, jy^B{x,y,z)dzdx;

elles se ramènent à des intégrales doubles étendues aux projections des différentes parties de S sur le plan des yz ou sur le plan des zx ; on appelle en général intégrale de surface une somme d'intégrales des formes précédentes, c'est-à-dire une intégrale de la forme

(3j // A(x, y, z)dy c/z-hB(x^ y, z)dz dx-hC{x, y, z]dx dy ;

si a, p, Y sont les angles avec les axes de la normale positive en un point de la surface S, nous verrions, par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour les intégrales (!) et (2), que l'intégrale précédente (3) est égale à

/ / [kixj y, z) cos a -f- B{x, y, z) cos p -h C{x, y, z) cos y]d(s.

335. Formule de Stokes. — Considérons une portion de surface S limitée par un contour fermé C, et sur laquelle est choisie une face positive ; soit une intégrale curviligne

^^^ fc^"^^' ^' zyx-f-Q(>, y, z]dy-\-R{x, y, z)dz

étendue au contour C dans le sens direct, sens que nous avons défini précédemment; nous allons démontrer que cette intégrale est égale à l'intégrale double

''' /X(f-^)"»^-(f-f)''=^-(^-fH'

étendue à la surface S, en supposant que P, Q, R et celles de leurs dérivées qui entrent dans l'intégrale double soient continues en tous les points de cette surface ; c'est dans l'égalité des intégrales (4) et (5) que consiste la formule de Stokes. Ampère l'avait déjà rencontrée dans certains cas particuliers.

Nous commencerons par faire la remarque suivante ; si nous décomposons la surface S par des lignes transversales en portions Si, S2, ... et si Cl , C2, ... sont les contours de ces portions parcourus tous dans le sens direct, la somme des intégrales curvilignes analogues à (4) étendues à tous ces contours est égale à l'intégrale (4) étendue au contour

C. Il suffit, pour le voir, de remarquer que les intégrales se rapportant aux contours Cl, C2, . . . se composent: 1° de parties relatives aux différentes portions du contour C , 2° de parties relatives aux lignes transversales tracées sur S ; mais ces lignes limitent des portions contiguës de surfaces Si, S2, ..., Fig. 101. et elles sont parcourues deux fois dans des sens

opposés, comme le montre la figure 101 ; par suite, les intégrales correspondantes ont des valeurs deux à deux égales et de signes contraires, et leur somme est nulle ; il ne reste donc que l'intégrale relative au contour primitif C.

Il suffit alors de démontrer la formule de Stokes pour une des parties Si, Sj, . . . ; si on l'applique en effet à chacune de ces parties, et si l'on fait la somme des résultats, on arrive à l'égalité des intégrales (4) et (5). Nous supposerons que chacune des parties dans lesquelles on décompose S est rencontrée en un seul point par une parallèle à l'un quelconque des axes; alors cosa, cosp et cosy gardent des signes constants en tous les points de chacune de ces parties de surface.

Transformons d'abord l'intégrale curviligne / P(ic, ,y, z)dx éten-

due à Tun des contours ; nous désignerons ce contour d'une manière générale par C ; soient xq et Xi les limites entre lesquelles varie

X, Xi étant >-Xo,

A et B les points

correspondants

[fig. 102); soient

(.yo, «0 et yu Zi Tordonnée et la cote des points Mo et Ml correspondant à une même valeur de X, Nous supposerons que Mo et Ml désignent respectivement le premier et le second point que Ton rencontre en suivant le contour à partir de A, dans le sens AMqBMiA, comme l'indique la flèche.

L'intégrale f Pdx est égale à la somme de deux intégrales analogues prises, Tune le long de AMqB, l'autre le long de BMiA ; cette dernière est égale à l'intégrale prise le long de AMiB et changée de signe; nous pouvons donc écrire

fP(x, y, z)dx= r* F X, yo, ZoM^— - f* ^{x, 2/i, Zi)dx

Fig. 102.

= r' [?{x, yo, Zo) — P(x, y,, z,)]c/a:.

Désignons par MqNMi la courbe de section de la surface S par le plan perpendiculaire à l'axe Ox et d'abscisse x; la différence P{x, yo, 2o) — P(j^7 yij ^i) est égale à l'intégrale curviligne

ÔP

r^^ïLdy + ^^dz /M. t^V àz

étendue à cette courbe MqNMi ; cela résulte en effet de ce que l'in-

tégrale euniligne porte sur la différentielle totale de la fonction P X, y, z où X est constant, et elle a pour valeur la différence des valeurs de P aux deux limites d'après le ttiéorème II du n"* 331 ; nous pouvons donc écrire, en séparant en deux parties Tintégrale précédente,

La première intégrale se ramène à une intégrale double étendue aux éléments d'aire intérieurs à la projection amobrui de l'aire S sur xOy, et la seconde à une intégrale double étendue aux éléments de la projection a'm'çjb'm'x de S sur zOx, En supposant dans la figure que les angles p et y de la normale avec Oy et Oz soient aigus, les sens des déplacements sur les projections de C sont directs, et nous avons yo<Ci/n mais au contraire zo2>-iî il faut donc, pour évaluer la deuxième intégrale comme une intégrale double ordinaire, inter\ ertir Tordre de zo et Zj , et changer le signe de l'intégrale ; en nous reportant aux définitions que nous avons données au n° précédent, nous concluons de là que les deux intégrales du second membre

sont respectivement égales aux intégrales de surface / / — - dx dy et

dxdz.

ôz En faisant sur les angles p et y d'autres hypothèses, nous verrions que ces égalités sont vraies dans tous les cas ; nous avons donc toujours]

Par permutation circulaire des lettres, nous transformerons les deux autres parties de l'intégrale (4) en intégrales doubles analogues aux précédentes et en faisant la somme des trois égalités, nous aurons

ôz dx) \dx dy ) ■^'

ce qui est la formule de Stokcs.