Remarque I. — Dans le cas d'une intégrale étendue à un

contour C situé dans le plan des xy, et enfermant une aire plane S située dans ce plan, z est nul, et Ton a la formule simple

Elle porte quelquefois le nom de formule de Cauchy; sa démonstration directe est analogue à celle de la formule générale de Stokes.

Remarque II. — Si P(/x-f-Qc/j/ H- Rc/s est différentielle totale, tous les termes de l'intégrale (5) sont nuls, par suite, l'intégrale (4) étendue à un contour fermé est nulle, en supposant toutefois que les fonctions P, Q, R et leurs dérivées soient continues en tous les points d'une surface limitée par le contour ; nous retrouvons ainsi le théorème III du n° 332.

Remarque III. — Toute intégrale de surface de la forme (3) ne peut pas toujours être identifiée à l'intégrale (5); il faut pour cela que l'on puisse trouver trois fonctions P, Q, R telles que l'on ait les égalités

' 01/ ôz ' ôz ôx ' ôx ôy

on conclut de là que l'on doit avoir identiquement

ÔJ7 ôy ôz *

Cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante car si A, B, C sont liés par cette relation, on vérifie que les fonctions

P = 0, Q= Tcfx, y,z)dx,

R = — / B(x, y,z)dx-\- i A(xo, y y z)dy

forment une solution des équations (6); on en obtient du reste d'autres en ajoutant respectivement à ces fonctions les dérivées partielles d'une fonction quelconque par rapport à x, y et z.

Lorsque la condition (7) est remplie, l'intégrale (3), qui est identique à (5), peut être remplacée par l'intégrale curviligne (4) étendue

au contour de la surface S ; elle ne dépend donc que de ce contour ; nous en concluons ce résultat :

Une intégrale de surface (3), dans laquelle les fondions A, B, C satisfont à la relation (7), ne dépend que du contour de la surface d'intégration, et ne change pas lorsque cette surface varie en conservant le même contour.