Exemple. — Considérons l'intégrale
X dy dz -hy dzdx-hz dx dy
ff.
étendue à une surface S limitée par un contour C ; on vérifie que les fonctions A, B, C qui entrent sous le signe d'intégration satisfont à la relation (7), par suite l'intégrale ne dépend que du contour C.
Elle a une signification géométrique simple; soient a, ^, y les angles que fait avec les axes la normale en un point M de la surface, et a', p', y' ceux que fait avec les mêmes axes le rayon OM allant de l'origine au point M ; soit enfin r la valeur du segment OM ; on a
r=\/x^-^y^-hz^, cosa' = — , cosp' = -^i cosy' = —
En introduisant les valeurs précédentes, et en remplaçant dy dz , dzdx et dxdy par cosada^ cos,8c/<j et cosyc/d, Tintégrale s'écrit sous la forme
'*r (cos a cos a' -f- cos p cos ^' -h cos y cos y')d(T
.'Js r^
ou bien, en appelant V l'angle de OM avec la normale en M,
VcosVJd
Le numérateur est la valeur de la projection de l'élément d'aire du sur un plan passant par M et perpendiculaire à OM; la fraction placée sous le signe d'intégration représente la valeur d'un élément
d'aire semblable à cette projection, le rapport de similitude étant — ;
on en conclut qu'elle est égale à la portion d'aire découpée sur la sphère
de centre 0 et de rayon égal à 1 par un cône ayant pour sommet le point 0 et pour base l'élément d^ de la surface S .
L'intégrale elle-même est la somme des éléments de cette sphère correspondant aux éléments de S ; elle est égale à Taire de la sphère découpée par le cône ayant pour sommet Torigine et pour directrice le contour C do la surface ; on rappelle angle solide compris dans ce cône.
338. Formule d*Ostrogradsky . — Ëtant donnée une surface fermée S , enfermant un volume V , et trois fonctions A , B , C , continues ainsi que leurs dérivées pour tous les points de ce volume, nous allons montrer que l'intégrale de surface
rr kdydz-hBdzdx-hCdx dy
étendue à la face extérieure de la surface S est égale à l'intégrale triple
ÔA . ôB . ôC
im
ÔX ôî/
\dx dy dz
étendue au volume V; c'est l'égalité de ces deux intégrales qui
constitue la formule d'Ostrogradsky.
Supposons que la surface S soit coupée en deux points Mo et Ml par toute parallèle à Oz, et que Zq et z, soient les cotes de ces deux points, zi
étant supérieur à zq. D'après
^ l'hypothèse faite sur la direction
delà normale, celle-ci fait en M, un angle aigu avec Os, et en Mo un angle obtus {fîff. 103); nous en concluons que l'intégrale de surface CCo^dxdy est
égale, d'après sa définition (n° 334), à l'intégrale double
[C[x, y, zi) — C(x, y, Zo)]dx dy
Fig. 103.
VoGT. — Math. sup.
4S0 CALCUL LNTÉGRAL
étendue à tous les éléments positifs dont se compose la projection A de la surface S sur le plan des xy. Mais la différence qui est entre parenthèses est égale à l'intégrale
en la remplaçant par cette valeur, nous avons comme résultat
Nous établirions de même les relations transformant «n intégrales triples les deux autres parties de l'intégrale de surface ; en ajoutant les résultats, nous avons
h \ h - — 1 dx dy dz ,
ôx by ^z ) ^
(10) ÇÇ k dydz-\-B dz dx-hCdx dy
qui est la formule à établir.
La démonstration suppose que la surface S n'est rencontrée qu'en deux points par toute parallèle à l'un des axes ; il est facile de s'affranchir de cette restriction. Lorsqu'elle n'est pas remplie, on décompose le volume V en d'autres partiels Vi, V^, ... par des surfaces intermédiaires intérieures au volume primitif, de telle manière que les contours des nouveaux volumes ne soient coupés qu'en deux points par une parallèle aux axes.
Si l'on applique la formule d'Ostrogradsky à chacun des volumes, et si l'on fait la somme des résultats, la somme des intégrales de volume (9) n'est autre que la valeur de cette même intégrale pour le volume total ; d'autre part, la somme des intégrales de surface (8) se compose : i° de la portion relative à la surface primitive S entourant le volume total, 2° des portions relatives aux surfaces intermédiaires ; mais l'on voit, en raisonnant comme dans le cas de la formule de Stokes, que ces surfaces limitent chacune deux volumes contigus, et <|ue l'on doit prendre la normale successivement dans des sens opposés ; les intégrales de surface correspondantes ont ainsi des valeurs deux à deux égales et de signes contraires, et leur somme est nulle. La formule se trouve ainsi démontrée dans tous les cas.
INTÉGRALES DE SURFACE 45f
Remarque. — Lorsque A, B, C satisfont à la relation (7), le second membre de la formule (10) est nul, et le premier membre est aussi nul ; on a donc ce résultat :
Lorsque les fonctions A, B, C satisfont à la condition (7), Vintégrale de surface (8) étendue à une surface fermée est nulle.
339. Formule de Green. — Si Ton applique la formule (10) aux fonctions particulières
ÔX Ôy 03
U et V étant des fonctions données, continues ainsi que leurs dérivées premières et secondes dans un volume donné, on a
jjjv\ ôx ôx ôy ôy Ô2 bz /
On simplifie l'écriture en introduisant dans la dernière intégrale du second membre le symbole AV pour représenter la somme
ôx* ô;y- ôs*
en remplaçant dans la parenthèse du premier membre c/y dzy dz dxy dxdy par les produits cosac/d, cospt/d, cosyc/œ; comme au n° 334, cette parenthèse devient
COS % -4- - — COS 8 -h — — COS Y I ""î •
ôx hy ^z ^ '
d\ On représente le coefficient de d(j par -7- , et on Tappelle dérivée de V suivant la normale à la surface ; la raison de cette dénomination est la suivante : si l'on considère en effet un déplacement dji sur la normale, la différentielle totale d\ de la fonction V relative à ce déplacement a pour valeur
dy = — - c/x -I- — — du 4- — - dz ; ôx by '^ t^z
mais dxy dy et dz sont les projections sur les axes du déplacement dn sm* la normale, et ont pour valeurs
dx = dn cos a , dy =^ dn cos» p , dz = dn cos y :
on a donc
oV = 1 - — cos a -h - — cos B -h -:— cos v ) dn, \bx ôy ôz '/
dW et Ton voit que -r— est égal au coefficient de d(j. Avec ces notations,
dn
la formule primitive devient
J Js dn "^^ JJJy\ ^x ^x ôy ôy ôz ôz / ^ ^ ^
^^^V^\dxdydz,
Si Ton change U en V , et qu'on retranche membre à membre la nouvelle relation de la précédente, on trouve
c'est la formule de Green. Remarquons qu'elle est établie en supposant que l'on prenne la normale extérieure à la surface fermée donnée ; si l'on prend la normale intérieure, il faut changer le signe du premier membre.
