CHAPITRE I
340. Formation des équations différentielles. — Considérons une fonction y d'une variable x^ définie par une équation renfermant un paramètre arbitraire G ; si nous éliminons ce paramètre entre Téquation donnée et celle qu'on en déduit en égalant les dérivées ou les différentielles des deux membres, nous obtenons une relation entre la variable Xy la fonction y et sa dérivée y' ou bien entre les deux variables x, y et leurs différentielles du premier ordre dx et dy ; cette relation est indépendante de G et elle est satisfaite par toutes les fonctions y obtenues en donnant des valeurs différentes à ce paramètre ; on rappelle équation différentielle du premier ordre.
Exemple, — Soit la fonction y définie par Téquation
y' = 2Cr,
où G est un paramètre arbitraire ; en différentiant cette équation, on a
2ydy = 2Cdx,
et en éliminant G entre les deux relations, on obtient Téquation
différentielle
y dx — 2xdy = 0,
on peut la mettre, en divisant par dx, sous la forme suivante, équivalente à la première,
elle représente alors une relation entre la variable x, la fonction y et sa dy
dérivée
dx
341. Problème inverse. — Toute fonction y qui satisfait à une équation différentielle donnée du premier ordre s'appelle une solution de cette équation ; intégrer une équation différentielle, c'est en rechercher toutes les solutions.
La solution qui renferme une constante arbitraire s'appelle solution générale ; celles qui s'en déduisent en donnant à la constante des valeurs numériques particulières s'appellent solutions particulières ; s'il existe d'autres solutions non renfermées dans la solution générale, on les appelle solutions singulières.
Parmi les solutions particulières, on a souvent à considérer celle qui se réduit à une valeur donnée î/o pour une valeur donnée ar© de la variable ; il est facile de la déduire de la solution générale ; il suffit en effet d'écrire que la relation qui définit cette solution est satisfaite pour x=^Xo et y=^yQ\ on obtient de cette façon une équation fournissant la valeur numérique qu'il faut attribuer à la constante C.
En remplaçant dans la solution générale C par cette valeur, on obtient la solution particulière cherchée ; on dit que j^o et y^ constituent les conditions initiales de cette solution particulière.
La relation qui définit la solution générale est quelquefois résolue par rapport à la constante arbitraire, et mise sous la forme F(x, i/) = C; on dit alors que F(x, y) est une fonction intégrale ou simplement une intégrale de l'équation différentielle.
En considérant x et y comme les coordonnées d'un point d'un plan, toute solution d'une équation différentielle est représentée par une ligne de ce plan ; lorsqu'on donne à la constante qui entre dans la solution générale toutes les valeurs possibles, on obtient une famille de courbes ; imposer à une solution les conditions initiales [x^y y^) revient à choisir la courbe de cette famille qui passe par le point [xq, yo). L'équation différentielle peut être considérée comme exprimant une
propriété commune à toutes les courbes de la famille considérée ; elle fournit une relation entre le coefficient angulaire y' de la tangente au point (x, y), et les coordonnées de ce point.
11 n'existe pas de procédés généraux d'intégration des équations différentielles ; ce n'est que dans des cas simples que Ton peut former la solution générale au moyen des fonctions connues.
Lorsqu'on peut exprimer x et 1/ au moyen d'intégrales définies ou indéfinies, on dit que l'intégration est ramenée aux quadratures, et l'on considère comme résolu le problème de la recherche de solutions de l'équation différentielle donnée ; on sait en effet calculer numériquement une intégrale définie ; on peut donc déterminer la valeur de la fonction y de x pour chaque valeur numérique de la variable.
342. Cas simples d*inté(jration. — 1° Lorsqu'on a une équation différentielle de la forme
la solution générale est l'intégrale indéfinie de f{x), c'est-à-dire
y = Jf{x)dx-hC;
2*» Lorsque Téquation différentielle a la forme
(i) P{x,y)dx-^Q{x,y)cIy = 0
et que le premier membre est une différentielle totale exacte, il suffit, pour définir la solution générale, d'égaler à une constante arbitraire l'intégrale indéfinie du premier membre ; on sait exprimer cette intégrale par des quadratures (n° 324), et elle constitue une intégrale de l'équation différentielle.
3° Lorsque dans l'équation (i) P ne dépend que de x, et Q de yj c'est-à-dire lorsque l'équation différentielle a la forme
P{x)dx-{-Q{y)dy = 0,
on dit que les variables sont séparées ; le premier membre est la différentielle exacte de la somme des intégrales indéfinies de ses deux termes, et la solution générale est fournie par l'équation
fp{x)dx^fQ{y)dy = C.
Si Ton considère par exemple réquation du n° 340,
y dx — 2xdy = 0,
on peut récrire
les variables sont alors séparées. En intégrant séparément les deux termes, on obtient l'intégrale
log X — 2 log y = C.
Le premier membre est égal à log —^ ; si Ton représente la cons-
tante qui entre au second membre par log - ^ et si Ton remonte des logarithmes aux nombres, on obtient finalement la relation
y^ = 2Cx
qui définit la solution générale; elle est identique à la relation qui avait fourni Téquation difFérentielle.
4° Lorsque dans Féquation (1) P et Q sont des fonctions homogènes de X et y ayant même degré d'homogénéité, on peut par un changement de variable se ramener au cas précédent. Si Ton divise P et Q par une puissance de x égale au degré d'homogénéité, et si l'on
met en évidence dans ces fonctions le rapport ^ , on écrit l'équation
sous la forme
(2) py|.)c/x-4-Q/|.y,V = 0;
on pose alors -^ = /^ c'est-à-dire y = tx, d'où dy = xdt-htdx ;
en remplaçant y et dy par ces valeurs, l'équation (2) devient
Pi{t) dx-\-Qi{t) [x dt-\' i dx) = 0, ou bien
{Pi{t)-hQi{t)t:}dx-\-Q,{t)xdt = 0.
On peut séparer les variables et écrire cette équation sous la forme
dx . Q,{t)dl ^Q
Pi(0 + QiW^
on est alors ramené au cas précédent et l'intégration est possible par quadratures ; il suffit de remplacer t par -^ dans le résultat pour avoir
une intégrale de l'équation différentielle donnée et en déduire la solution générale.
343. Équation linéaire. — On appelle ainsi une équation entière
et du premier degré par rapport à y et -^ ; on peut toujours la ramener à la forme
où P et Q sont des fonctions données quelconques de x; nous allons montrer que Ton peut toujours intégrer une telle équation.
Considérons d'abord le cas où Q(j:) est nul ; on dit que l'équation est linéaire et homogène ou bien sans second membre ; en l'écrivant sous la forme
dy
P{x)dx = 0,
les variables sont séparées, et l'on a immédiatement l'intégrale suivante, où log G désigne une constante arbitraire,
on en tire, en remontant des logarithmes aux nombres, la solution générale
(4) y = Ce--f''<"r
Considérons le cas général où le second membre n'est pas nul; on intègre ordinairement l'équation (3) par la méthode que l'on appelle méthode de variation des constantes arbitraires.
On commence par intégrer l'équation homogène obtenue en supprimant le second membre ; sa solution renferme une constante arbitraire C, comme l'indique l'équation (4). On suppose alors que C représente non plus une constante, mais une fonction de a:, et l'on cherche à déterminer cette fonction par la condition que l'expression trouvée satisfasse à l'équation donnée (3).
Nous allons appliquer cette méthode à un exemple. Soit Téquation
que Ton peut écrire, en la mettant sous la forme (3),
dx X " X
Supprimons le second membre ; nous avons Téquation homogène
dy 2 r. dy 2dx ^
dx X y X
dont la solution est fournie par Téquation suivante, où la constante arbitraire est désignée par log C,
log y — 2 log X = log C ;
nous en déduisons
y = Cx«.
Considérons alors dans cette valeur de y, C comme une fonction inconnue de x, et remplaçons dans l'équation totale donnée, y
par Ca:^, et —J- par -y-x^-\-2Cx\ nous avons, toutes réductions
, uX uX
faites,
dC x^ — 3
dx x^
Nous en déduisons
C désignant une constante. Il suffit alors de remplacer C par cette valeur dans l'expression de y pour obtenir la solution générale
y = a:« log 03 -h- -— -h C'a;*.
344. Équation de Clairaul . — On appelle ainsi une équation différentielle de la forme
dx
/ étant une fonction ne renfermant que la dérivée de y. La solution
générale s'obtient simplement en remplaçant -JL par une constante arbitraire C , et elle est
(6) y = Cx + /^(C);
cette équation représente en effet une famille de droites; pour une
quelconque d'entre elles, -^ est égal à C, par conséquent Téquation
dx
(5) est identiquement satisfaite.
Si Ton cherche Tenveloppe de cette famille de droites en éliminant C entre Téquation (6) et sa dérivée par rapport à C, on obtient une courbe qui représente une solution de Téquation (5) ; en effet, en tout
point de cette courbe, de coordonnées Xy y, la tangente est la droite
dy enveloppée passant par ce point, et le coefficient angulaire -jr* de cette
tangente est le même que celui de cette droite ; par conséquent, les valeurs de x, y et -r- relatives à la courbe enveloppe sont les
mêmes en chaque point que pour la droite enveloppée (6) ; elles satisfont donc à Téquation (5).
La solution définie par cette courbe enveloppe constitue une solution singulière, parce qu'elle ne rentre pas dans la solution générale. Ordinairement, Tenveloppe de la famille de courbes représentées par la solution générale d'une équation différentielle du premier ordre quelconque constitue unç solution singulière de cette équation.
