CHAPITRE II

345. Formation des équations différentielles . — Considérons une fonction y d'une variable x^ définie par une équation renfermant n paramètres arbitraires indépendants Ci, C2, . . . , C„; si nous éliminons ces n paramètres entre cette équation qui définit la fonction et ses n premières dérivées, nous obtenons une relation entre x^ y et

ses n premières dérivées —r- -> —r^ » • • • » -i-^ ; elle est in- ^ dx dx^ dx"

dépendante des paramètres et est satisfaite par toutes les fonctions obtenues en donnant à ces paramètres des valeurs quelconques ; on rappelle équation différentielle d'ordre n.

Exemple, — Soit la fonction

(1) y = Cl cos nx -h C2 sin nx

renfermant deux paramètres Ci et C2 ; en formant les deux premières dérivées de l'équation (i)

-f- = — nCi sin nx -f- nC^ cos nx, dx

-j-^ = — /i*Ci cos nx — n^Cî sin nx,

dx*

et éliminant Ci et C2 entre les trois relations, on obtient l'équation différentielle du second ordre

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 461

346. Problème inverse. — Etant donnée une équation différentielle d'ordre n, on appelle solution générale de cette équation une fonction renfermant n constantes arbitraires indépendantes ; celles qui s'en déduisent en donnant aux constantes des valeurs numériques particulières sont des solutions particulières ; s'il en existe d'autres, ce sont des solutions singulières.

Lorsque Ton connaît la solution générale

(3) î/ = (p(x, Ci,C2, . . . C„)

d'une équation d'ordre n, on peut trouver une solution particulière qui* prenne, ainsi que ses n — 1 premières dérivées, des valeurs données

pour une valeur donnée x^= Xq de la variable. Si l'on forme en effet les n — i premières dérivées de la fonction (3), et si l'on écrit que cette fonction et ses ti — 1 dérivées prennent, pour x = Xo, les valeurs données, on a n équations qui permettent de calculer les valeurs numériques de Ci , C2 , • . . , C„ ; il suffit alors de les porter dans Téquation (3). Lorsqu'on effectue ce calcul, on dit que l'on impose à la solution les conditions initiales données.

Considérons par exemple la fonction (1) qui est la solution générale de l'équation (2) ; cherchons la solution particulière qui se réduit à î/o et dont la dérivée a la valeur yi pour x = 0.

L'équation (1) et sa dérivée nous donnent, pour x = 0, y© = Ci , yl^=nCi\ nous déduisons de là les valeurs de Ci et C2, et nous obtenons la solution particulière cherchée

(4) y =yo cos nx -f- ^^ sin nx,

A l'exception de certaines catégories d'équations simples, comme les équations linéaires à coefficients constants, il n'existe pas de procédés généraux pour intégrer les équations différentielles d'ordre supérieur ; on cherche en général à ramener l'intégration de ces équations à celle d'équations successives d'ordre moindre, en particulier à celle d'équations du premier ordre ou à des quadratures.

Lorsqu'on a formé, en partant d'une équation d'ordre n, une autre équation d'ordre n — 1 renfermant une constante arbitraire, on dit que cette équation constitue une intégrale première de réquation donnée.

347. Exemples. — 1° Considérons Téquation (2), et cherchons à. la ramener à une équation du premier ordre ; si nous multiplions les.

deux membres par 2 -^ , nous formons la relation

dont le premier membre est la dérivée de \'T']-^^^y^\ i^ suffit,.

pour obtenir une intégrale première, d'égaler cette quantité aune constante arbitraire. En désignant par n^j/o^ cette constante, nous aurons.

'dy\

dxi ' '^V = '**2/o';

nous en tirons

dx

C'est une équation du premier ordre que nous écrirons, en séparant les variables,

, ^ = n dx ;

en l'intégrant et représentant par — nx^ une deuxième constante arbitraire, nous aurons

arc sm -^- = nx — nx^ ;

nous obtiendrons finalement, en prenant les sinus des deux membres,

y = î/o sin n (x — Xq) ;

c'est une autre forme de la solution générale qui a déjà été donnée par la relation (i).

2° Ce procédé de réduction à des équations d'ordre moindre s'applique immédiatement à une équation de la forme

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 463

il suffit d'effectuer n quadratures successives, en ajoutant chaque fois une constante arbitraire ; on a

^gi=jf{x)dx-^cu

et ainsi de suite.

3** Il s'applique aussi à une équation où y n'entre pas. Si Ton

a par exemple une équation entre x, -p- et -7— , on la considère

comme une équation du premier ordre par rapport à la fonction

inconnue -^. Lorsqu'on a intégré cette équation et exprimé -^

en fonction de x, on obtient y par une quadrature.

348. Cas où x n*eiitre pas dans réqualion. — Lorsque l'équation ne renferme pas x, on considère les deux quantités y et h^

comme dépendant l'une de l'autre, et l'on forme l'équation difîérentielle qui les lie ; elle est d'un ordre moindre d'une unité que l'équation donnée. Lorsqu'on a intégré la nouvelle équation et qu'on a trouvé par

exemple la valeur de -^^ en fonction de y, sous la forme -^ = <p(i/),

on en tire, en séparant les variables, dx = '^ > et x est donné par une quadrature, *^^^

Nous allons indiquer la marche à suivre sur un exemple ; considé-

rons l'équation

posons -p- r= p et considérons p comme fonction de y ; nous devons remplacer -r-^ par -p- î nous introduirons la dérivée de p par rapport à y, et nous poserons

d\y ^dp ^ dp dy ^ dp dx^ dx dy dx dy ^'

Après cette substitution, nous obtenons Téquation du premier ordre

le premier membre est divisible par p ; nous avons ainsi la solution

particulière p = 0 ou -^=0, qui donne y — Q\ En supprimant

le facteur p, il nous reste une équation dont les variables se séparent, et que nous pouvons écrire

dp^dy />-2 y '

En intégrant, et représentant par logCi une constante, nous avons

log (/> — 2) = log y H- log C„ p — 2 = Ciy,

Ayant la valeur de p qui représente -^i nous n avons plus qu'à intégrer l'équation du premier ordre

^,-c.,+2, ou •^ = ^:

en désignant par logQ une deuxième constante, nous avons

a' = -i-[log(C,y^2)~logCJ,

d'où nous tirons

Ci.y -h 2 = C2 e^.*.

349. Équations linéaires et iiomogènes. — Une équation différentielle linéaire et homogène d'ordre n est une équation de la forme

où Goi«ii . . cr« sont des quantités constantes ou des fonctions de X seul ; on. peut faire sur les intégrales d'une telle équation les remarques suivantes :

1° Si yt est une solution quelconque, le produit Cit/i de cette solution par une constante Ci est encore une solution, car le résultat

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 4G5

de substitution de Gii/i dans le premier membre de (5) est égal au produit de Ci par le résultat de substitution de ^i et est nul.

2° Si î/i et 1/2 sont deux solutions quelconques, la somme Ci^i -+- C2J/2 est encore une solution, car le résultat de substitution de cette quantité dans le premier membre de (5) est la somme des résultats de substitution de dyi et de G2I/2? et il est nul d'après ce qui précède.

3° Si Ton parvient à déterminer n solutions particulières indépendantes 1/1,2/2» • • • » Vn de Téquation (5), la fonction

y = Ciî/i -h. C22/2 -h • • • -+-C„y„

est encore une solution ; on le verrait en généralisant la remarque précédente; comme elle renferme n constantes arbitraires Ci,C2, ... C„, elle est la solution générale de Téquation différentielle.

4° Lorsqu'on connaît une première solution particulière j/i de Téquation (5), et qu'on n'en aperçoit pas immédiatement d'autre, on peut ramener l'intégration de l'équation donnée à celle d'une autre équation de même forme et d'ordre moindre ; il suffît de remplacer y par t/yz, et de considérer z comme une nouvelle fonction inconnue;

en faisant cette substitution, le coefGcient de z est nul, et on a une

dz équation linéaire et homogène d'ordre n — 1 par rappoi*t à -7-^ ;

lorsqu'on a intégré cette équation, on a z par une quadrature.

Soit, par exemple, l'équation du second ordre linéaire et homogène

elle admet comme solution yi = x; nous poserons y = xz, d'où

dy dz d^y d^z ^ dz

dx dx ' dx^ dx^ dx

et en substituant dans l'équation, nous aurons, tous calculs faits,

d^z dz ^

dx^ dx

C'est une équation du premier ordre linéaire et homogène par

rapport à -j-; sa solution générale est --j- = Cie~*, de sorte que dx dz

VoGT. — Math. sup. 30

z a pour valeur 2 = — CiC"^ -4- C2 ; nous obtenons finalement pour y la solution

elle renferme deux constantes arbitraires ; c'est donc la solution générale de Téquation.

350. Équations linéaires et homogènes du second ordre à coefficients constants. — Le cas le plus important est celui où les coefficients floî «1, . . . a„ de Téquation (5) sont des constantes ; on peut toujours dans ce cas trouver la solution générale. La méthode consiste à chercher une solution particulière de la forme y = e** , où r est un coefficient constant encore inconnu ; nous allons d'abord traiter le cas des équations du second ordre.

Soit Téq nation

où a et 6 sont des coefficients constants réels ; cherchons une solution de la forme y = e'^ ; en remplaçant dans (6) y et ses dérivées par leurs valeurs

^ ' dx ' dx^ '

le résultat de la substitution est e"'(r* -h ar -f- 6) ; comme il doit être nul et que Texponentielle ne Test pas, il faut que r soit une racine de réquation

(7) /•(r) = r2-har-h6 = 0,

que Ton appelle équation caractéristique.

V Cas. — L'équation (7) a ses racines réelles et distinctes ; si on les désigne par n et r^, on a les deux solutions particulières y^ z= e'-i*, y^ = e'"** ; d'après le n** précédent, la fonction

est encore une solution ; comme elle renferme deux constantes arbitraires, c'est la solution générale.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 467

Exemple, — Soit Téquation -|

l'équation caractéristique est f[r) = r^ -\-r — 2 = 0, et elle a pour racines 1 et — 2 ; la solution générale est donc

y = Cie* H- Cje-^* .

2* Cas. — L'équation (7) a ses racines égales; soit n la racine double ; la fonction e'"** est déjà une solution; on vérifie que la fonction xe'"** en est une autre, car si Ton substitue à la place de y et de ses dérivées cette valeur et ses dérivées

aje'"'*, riXe''*' -h e*"** , ri^xe''*' -h 2rie'*«* ,

le résultat de substitution est

(ri* -f- ari -+- 6)xe'*«* -4- (2ri -f- a)e''«*,

et il est nul puisque ri e'st racine double de Téquation (7).

Ayant ainsi deux solutions particulières e'"'* et xe*"»*, on en forme la solution générale

y = Cie''** -h CiXe''*' .

Exemple, — Soit l'équation différentielle

l'équation caractéristique a une racine double égale à 3 ; la solution

générale est •

y = Cie''* -j- dxe^ ,

3* Cas. — L'équation (7) a ses racines imaginaires ; soient a-hpt et a — ^i les deux racines imaginaires conjuguées de l'équation caractéristique, il leur correspond les deux solutions particulières e(*+?o« et g(a-?ox Pour n'introduire dans le calcul que des quantités réelles, nous remplacerons les exponentielles à exposants imaginaires par leurs valeurs exprimées au moyen des lignes trigonométriques, d'après les formules du n** 191 ; nous aurons de cette façon

g(a+?i> ^ e«*(cos px -h i sin px) ,

La solution générale Cie^"-^^'>*-j- Cîe(*"-?'>* est alors égale à

y = (Cl -f- €2)6*"' cos px -h (Cl — C2)ie«* sin px ;

en représentant par C[ et Cl les deux quantités Ci H- C2 et (Ci — Ci)i\ nous récrirons sous la forme

y = C[ e'^ cos px 4- Cl e*^ sin p: ,

où n'apparaissent que des fonctions réelles. Exemple, — Soit l'équation

que nous avons déjà rencontrée au n° 345 ; l'équation caractéristique est r'-|-/i* = 0 et a pour racines ±ni\ la solution générale est

y == Cie"'* -4- C2e~"** = Ci(cos nx -h i sin iix) -f- C2(cos nx — i sin /ur), que nous pouvons mettre sous la forme

Cî cos nx -\- Cl sin nx .

351. Équations linéaires et liomogènes d*ordre quelconque à coefficients constants. — Ce que nous venons de dire sur les équations différentielles linéaires et homogènes du second ordre à coefficients constants s'étend immédiatement aux équations de même nature et d'ordre quelconque. Considérons Téquation (5) du n° 349 et supposons que flo» «Il • . . «n soient des coefficients constants et réels ; nous allons chercher une solution de la forme 1/ = e" ; si nous substituons dans le premier membre de (5) les valeurs de y et de ses dérivées

dx ' dx^ y ' ' j^

y = ^^% -Jz = r^'% -â5. = ^^^^> • • • ^ = ^e^.

nous pouvons mettre e*** en facteur, et nous avons comme résultat

Comme ce produit doit être nul, et que l'exponentielle ne Test pas, il faut que le polynôme entre parenthèses soit égal à zéro; nous en concluons que le nombre r doit satisfaire à Téquation

(8) f{r) = ûTor" -f- air"-* -f- . . . -f. a^-ir -i- a„ = 0 ;

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 469

cette équation algébrique de degré n s'appelle équation caractéristique de Téquation différentielle.

Si réquation (8) a toutes ses racines distinctes, et si nous les désignons par r, , r2, ... r„, nous obtenons n solutions particulières, et nous en déduisons la solution générale

(9) y = Cie'-'* + Cae'-»^ -f- • • • -4- C„e'>«'«.

Si réquation (8) a des racines multiples, les n solutions particulières précédentes ne sont plus distinctes ; nous opérerons alors de la manière suivante :

Supposons, par exemple, que Téquation caractéristique ait une racine r, multiple d'ordre p ; on vérifie que les p fonctions

sont des solutions de réquation différentielle ; si Ton substitue en effet Tune d'elles à la place de y dans le premier membre de (5), les coefficients de 6**^*, xe'"'"', . . . dans le résultat sont soit /"(ri) soit une des dérivées de /*(ri) d'ordre inférieur à p ; ces dérivées sont toutes nulles puisque r^ est racine d'ordre p de multiplicité, par suite, le résultat est nul.

Nous introduirons alors les p fonctions précédentes dans la somme (9), et nous aurons la solution générale

(10) y = (Cl H-Cgx -f- C3X2 -h . . . -f- CpXP-')e'^'' -j- C^+je'-p-^i* -h • • • .

S'il se présente d'autres racines multiples, nous ferons correspondre à chacune d'elles un groupe de termes comme nous venons de l'indiquer. Ce qui précède s'applique aussi bien aux racines imaginaires qu'aux racines réelles de l'équation caractéristique ; cependant, lorsque celle-ci possède des racines imaginaires, on remplace ordinairement les exponentielles correspondantes par des fonctions trigonomé triques, comme nous l'avons indiqué dans le cas des équations du second ordre. Si a -I- pi ^et a — pi sont deux racines simples imaginaires conjuguées, on remplace dans la formule (9) la somme Cie^*"^^*^*-f-C2e^*~^'^* par CJe"* cos px -f- de"^ sin ^x ; si elles sont multiples d'ordre p, on remplace dans la formule (10) les 2p termes qui leur correspondent par

(Cl-hC^H- ... -h C;x'»-*)e«* cos px

-f-(C;,.iH-C;^2X-f- ... -hC^xP-»)e«'sinpx.

352. Équations linéaires avec second membre. — On appelle équation différentielle linéaire non homogène une équation de la forme

OÙ entrent linéairement y et ses dérivées ; on a Thabitude de placer au second membre le terme indépendant de y ; ao , ezi , ... a„ et 6 sont des fonctions de x ou des constantes.

Gomme dans le cas de Téquation du premier ordre (n* 343), on utilise la solution générale de Téquation privée de second membre pour intégrer Téquation totale. Une méthode générale est celle de la variation des constantes ; elle consiste à trouver d'abord la solution générale de réquation sans second membre, solution qui est de la forme

y = Ciî/i -4- C2Î/2 -+- •'• -f-C„y„,

puis à y considérer Ci , C.2 , . . . C„ comme des fonctions inconnues de Xy et à déterminer enfin ces fonctions de façon que la valeur de y satisfasse à Téquation totale. Nous allons appliquer cette méthode à l'exemple suivant : soit à intégrer Téquation

nous avons trouvé au n° 350 la solution générale de Téquation sans second membre ; elle est

y = Cie* -h Cae-** ;

considérons Ci et C2 comme fonctions de x et prenons la dérivée de y,

^ = Cie^-2C2.-^ + ^e^ + ^e-^; ax dx . dx

comme nous avons deux inconnues Ci et C2, nous pouvons les assujettir à une première condition ; écrivons que l'ensemble des deux

derniers termes de -^ est nul, c'est-à-dire qu'on a

dx

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'ORDRE SUPÉRIEUR 471

la valeur de -^ se trouve par cela même simplifiée, et en prenant encore la dérivée, nous avons

ax* ax dx

En transportant dans (12) y et ses dérivées, nous obtenons, toutes réductions faites, une équation qui ne renferme plus que les dérivées de Cl et C2, et qui est

dx dx

de (13) et (14) nous tirons les valeurs des dérivées

dx ' dx

et nous en déduisons

Cî et Ci étant des constantes ; en remplaçant C| et C2 par ces valeurs, nous avons pour la solution générale de Téquation proposée

853. Recherche directe d'une solution particulière • — Dans beaucoup de cas, on simplifie Fintégration de Téquation totale en appliquant ce théorème :

On obtient la solution générale de l'équation avec second membre en ajoutant une solution particulière de cette équation à la solution générale de U équation sans second membre.

Si en effet yo est une solution particulière de l'équation totale,

et si

Ciyi -^ C2.V2 -4- • • • -h C„y„

est la solution générale de Téquation sans second membre, on vérifie immédiatement que la somme

y = Cii/,-4-C2î/2-l- ••• -^C„yn-hyo

est une solution de Téquation avec second membre ; comme elle renferme n constantes, c'est la solution générale.

La recherche d'une solution particulière i/o de Téquation totale est un problème facile dans le cas où le premier membre a ses coefficients constants, et où le second membre a Tune des formes suivantes : 1° un polynôme entier, 2° une exponentielle de la forme e"*, 3° une fonction trigonométrique telle que sin px ou cospx, 4** une combinaison des fonctions précédentes par voie d'addition et de multiplication. On cherche alors une solution t/o de la même forme que le second membre, avec des coefficients numériques indéterminés, et Ton calcule ces coefficients en identifiant les résultats de substitution dans les deux membres.

Gomme exemple, considérons Téquation (12) et cherchons une solution particulière de la forme yo = w'^*' » où m est un coefficient inconnu ; en substituant, nous obtenons la relation

(25 -h 5 — 2)me«^^ = Se'^' ;

nous en tirons m = — - ^ et nous retrouvons ainsi la solution obtenue

dans le numéro précédent.

Comme autre exemple, soit à intégrer Téquation

4^ — 2-^H-V = ^' + *-^ 2sin2x; ax' ax

cherchons une solution particulière de la forme

î/o = xx^ -I- px -I- Y -h 5 sin 2j? -h « cos 2x; en substituant, nous devons avoir identiquement

otx* -4- (p — 4a)x + (y — 2p -+- 2a) -f- (4s — 38) sin 2x

— (3e H- 45) cos 2x =^ x^ -h 4 -h 2 sin 2x ; nous en tirons

comme l'équation caractéristique de l'équation sans second membre a une racine double égale à 1 , la solution générale de cette équation

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR 473

€st (Cj + 0^)6" \ celles de Féquation donnée est alors

y = (Cl -h Cax^e* H- x^ -h 4a; -f- 7 — 7— sin 2x -h -;r^ cos 2x .

Dans certains cas exceptionnels, la solution particulière i/o se compose non seulement de termes de même forme que ceux qui entrent au second membre, mais encore d'autres termes qui diffèrent de ceux-là par des facteurs, ces facteurs étant des polynômes en x généralement du premier ou du second degré ; on calcule les coefficients de ces polynômes par la même méthode d'identification que précédemment.