CHAPITRE III
354. Réduction d'un système d'équations différentielles simultanées à des équations renfermant chacune une seule fonction inconnue.
— Supposons, pour fixer les idées, que l'on considère deux fonctions y et z d'une même variable x, et que Ton donne deux équations entre la variable, les fonctions y et z et leurs dérivées par rapport à x jusqu'à un certain ordre ; ce seront deux équations différentielles simultanées à deux fonctions inconnues. Nous allons ramener l'intégration de ce système à celle d'une ou de plusieurs équations différentielles ordinaires renfermant chacune une seule fonction inconnue. Ce que nous allons dire dans le cas de deux fonctions s'applique sans modification au cas d'un nombre quelconque d'équations différentielles simultanées renfermant le même nombre de fonctions inconnues.
Considérons d'abord le cas simple de deux équations renfermant seulement les dérivées premières de y et de z ; supposons-les résolues par rapport à ces dérivées, et mises sous la forme
nous allons éliminer z entre ces équations ; pour cela, nous prendrons
dz la dérivée de la première et nous remplacerons -y- par sa valeur
ax
fournie par la seconde ; nous aurons ainsi la relation
Nous éliminerons alors z entre cette équation et celle qui donne
•-p- ; nous obtiendrons ainsi une équation différentielle du second
ordre par rapport à la seule fonction y.
Supposons qu'on ait intégré cette équation et qu'on ait exprimé sa solution générale au moyen de x et de deux constantes arbitraires Cl et C2 ; de la première des équations (4), nous pourrons
dy tirer la valeur de z en fonction de x, y et --— ; en remplaçant
y par la solution trouvée, nous exprimerons z en fonction de x et des deux mêmes constantes Ci et Ca ; nous obtiendrons finalement pour 1/ et z des valeurs de la forme
(2) y = ¥[x, Cl, C2), z = ^{x, Cl, C^).
On dit que ces valeurs forment la solution générale du système des équations (1 ) ; on peut déterminer les deux constantes Ci et C2 de façon que y et z prennent des valeurs données 1/0 et zq pour X = Xo; on dit alors que Ton impose à la solution particulière ainsi formée des conditions initiales données.
Géométriquement, les équations (2) représentent une famille de courbes gauches; imposer les conditions initiales dont nous venons de parler revient à chercher la courbe passant par un point (xq , 1/0 » ^0) de Tespace.
Considérons maintenant le cas général. Soit n Tordre le plus élevé des dérivées de y, et p celui des dérivées de z; supposons les équations données résolues par rapport aux dérivées d'ordre le plus élevé et mises sous la forme
/ON ^"V i-/ dy d^-^y dz df^^z\
dPy ( dy d'^^y dz di^^z\
Nous allons éliminer z entre ces deux équations ; nous prendrons pour cela p fois successivement la dérivée de la première par rap-
port à X, en ayant soin chaque fois de remplacer -7— par sa valeur (4). Nous formerons ainsi les dérivées
et leurs expressions renfermeront les dérivées de z jusqu'à Tordre p — 1 au plus. En général, il est possible d'éliminer, entre l'équation (3) et les p équations ainsi formées, les p quantités ;:,
dz df*~^z
-j- ' •••i , „ .; en effectuant cette élimination, nous obtien-
dx ' dxP~^ '
drons une équation renfermant x, y et ses dérivées jusqu'à Tordre n -hp ; ce sera une équation différentielle ordinaire d'ordre n -f- p par rapport à y.
Si Ton sait intégrer cette équation, sa solution générale est une fonction y dépendant de x et de n~i-p constantes arbitraires de la forme
d'autre part, les équations qui ont servi à éliminer z et ses dérivées permettent d'exprimer z au moyen de y et de quelques-unes des dérivées de cette dernière fonction ; il suffit alors de remplacer y et ses dérivées par les valeurs tirées de Téquation (5) pour déterminer z ; cette fonction dépendra de x et des n-\~p constantes qui entrent dans î/, et sera de la forme
(6) z = *(x, Ci,C2, . . . , C„+p).
Le procédé que nous venons d'indiquer fournit ainsi des valeurs de y et de z dépendant de n~\-p constantes arbitraires ; on dit qu'elles constituent la solution générale des équations (i) et (2), et . Ton dit que Tordre de ce système d'équations est n-\-p\ on voit qu'il est égal à la somme des ordres des plus hautes dérivées de y et de z.
Dans certains cas exceptionnels, il n'est pas nécessaire, pour éliminer z entre les équations (3) et (4), de former p fois la dérivée de la première ; nous nous contenterons d'indiquer le résultat suivant : si Télimination de z et de ses dérivées est possible après avoir pris les p — q premières dérivées de Téquation (3), on obtient, pour déterminer y, une équation différentielle d'ordre n-{-p — y; mais il faut ensuite, pour déterminer z, intégrer une nouvelle équation d'ordre q, dont les coefficients dépendent de la valeur trouvée pour y ; la solution générale dépend encore de n -hp constantes, comme dans le cas précédent.
Lorsque Ton attribue aux constantes des valeurs numériques particulières, on obtient des solutions particulières du système d'équations dilTérentielles simultanées. Il est possible de former une solution particulière telle que y et ses n — 1 premières dérivées, ainsi que z et ses p — 1 premières dérivées prennent des valeurs données j/o^yot . . . , y^"~*^^o^2o, • • • » ^o'^*^ pourune valeur donnée Xq de la variable. Il suffit en effet de former, en partant des équations (5) et (6) qui donnent la solution générale du système, les valeurs de y et de ses n — 1 premières dérivées, ainsi que celles de ^ et de ses p — 1 premières dérivées, et d'écrire qu'elles prennent les valeurs données pour x = Xq ; on a ainsi n -f-jo équations qui permettent de calculer les valeurs numériques des /n-/> constantes arbitraires entrant dans la solution.
355. Exemples. — 1° Soit à intégrer le système d'équations simultanées
dz En prenant la dérivée de la première, et remplaçant -7- par sa
valeur tirée de la seconde, on a
ê = -3^-*» + 8' + »3e=^ en remplaçant z par sa valeur tirée de la première
on en déduit, pour déterminer y^ l'équation du second ordre
dx^^ dx -y-^^ •
Nous l'avons intégrée au n° 352 et nous avons trouvé pour sa solution générale
en la portant dans l'équation (7), nous avons
z = Ce- -h j de-"^ — 2g e^.
2° Soit à intégrer le système d'équations simultanées
dx dy dz
Nous allons indiquer un procédé de calcul se rattachant à la théorie des différentielles totales. Des équations données, nous tirons les deux combinaisons
dx-^-dy-\-dz = 0, 2{x dx-hy dy -hz dz) = 0,
dont les premiers membres sont des différentielles totales exactes ; il nous suffît d'égaler à des constantes les intégrales indéfinies de ces différentielles, pour avoir les deux relations
(8) x-h-y-hz = Ci, a:«H-î/*-hz« = C2.
Ces deux équations définissent ^ et z comme fonctions de x et de deux constantes arbitraires ; elles donnent par suite la solution générale des équations données; elles représentent une famille de cercles ; chacune des équations (8) renfermant une seule constante est dite une intégrale du système.
3° Un autre exemple est fourni par les équations de la mécanique. Le mouvement d'un point mobile dans Tespace est déterminé par trois équations différentielles simultanées entre le temps t, qui est la variable indépendante, les coordonnées x, y, z du mobile, qui sont des fonctions du temps, et les dérivées premières et secondes de ces trois fonctions.
Ces trois équations constituent un système du sixième ordre, et la solution générale est constituée par les expressions de x,y,z au moyen du temps l et de six constantes arbitraires.
Donner des conditions initiales, c'est donner les valeurs que prennent à un instant initial i = /© les coordonnées x, y, z du mobile et leurs dérivées premières par rapport au temps ; cela revient à donner la position initiale du mobile et les composantes de sa vitesse initiale.
