CHAPITRE IV

356. Formation des équations aux dérivées partielles . — Lorsque Ton considère une ou plusieurs fonctions, de plusieurs variables indépendantes, toute relation entre les variables, les fonctions et leurs dérivées partielles s'appelle une équation aux dérivées partielles; si l'on a une seule fonction, Tordre le plus élevé des dérivées partielles qui entrent dans l'équation s'appelle Tordre de cette équation. Nous nous limiterons au cas où Ton a une seule fonction z de deux variables X et î/.

Une équation aux dérivées partielles prend naissance de plusieurs manières ; les deux principales sont les suivantes :

!•' Cas. — Supposons que la fonction z dépende de deux constantes arbitraires Ci et C2 ; si entre l'équation qui définit z et les dérivées de cette équation par rapport à. x et par rapport à 1/ on

élimine ces deux constantes, on a une relation entre x, y, z, -r— et ^ '^' ' X^x

-r-— ; c'est une équation du premier ordre à laquelle satisfont toutes

les fonctions z quelles que soient les constantes. Soit par exemple la fonction

z = Cix2-4-C,j/2;

ses dérivées partielles sont — = 2CiX et — = 2Ça^ ; Télimination de Cl et Ci conduit à l'équation du premier ordre

ÔJS ôz

2* Cas. — Supposons que deux fonctions données de x,y et s, que nous appelons u{x, y, z) et v{x, y, z), soient reliées Tune à Tautre de façon que Tune soit une fonction arbitraire de l'autre v = (p(i/) ; nous allons montrer que la fonction implicite z de x et y ainsi définie satisfait à une équation aux dérivées partielles du premier ordre indépendante de la fonction arbitraire <p.

Écrivons que Ton a

et égalons les dérivées partielles des deux membres de cette équation par rapport à a; et par rapport à y ; nous aurons

ô« ÔV Ô2 d:^ /OU OU ÔZ \

ôx ôs ^x du \ôx bz bx J^

ôi; ôi' ôz d^ /bu ou Ôz \

ôy ôz ôy du \by ôz 5i//

en éliminant -=?- entre ces deux dernières relations, ce qui se fait en les

du

divisant membre à membre, nous aurons une équation indépendante de 9 ; elle est, tous calculs faits,

\ ôy ôz ôî/ bz Jbx \ àz ôx ôz ôx / ôy

/ou ôï; ^ ou \

\ ôx 01/ (>x ôy / '

c'est une équation linéaire du premier ordre de la forme

ox oy

P, Q et R étant des fonctions de x^ y et z.

Exemple. — Les surfaces de révolution autour de Oz ont une équation de la forme

(3) z = ^{x^-hy');

nous allons éliminer la fonction arbitraire <p, en appliquant la méthode que nous venons d'indiquer; ici, u est égal à x* -h y* et v est égal

à z . Les dérivées partielles de la fonction z donnée par Téquation précédente sont

ôz ^ r/(p ^ hz d^ ç.

en divisant membre à membre, nous en déduisons la relation suivante indépendante de cp,

Cette équation du premier. ordre est dite Téquation aux dérivées partielles des surfaces de révolution autour de Os .

Toute équation du premier ordre exprime une propriété du plan tangent commune à toutes les surfaces satisfaisant à cette équation ; remarquons en effet que le plan tangent en un point de la surface z — f[x, y) = 0 a pour équation (n° 255)

oubien Z-z=-^(X-ar) + ^(Y-,y);

Ox oy

par suite, ce plan est déterminé par les coordonnées du point de

contact et par les deux dérivées — ^ et - — ; toute relation entre

ox oy

ces dérivées et les variables x, y, z exprime donc une propriété du plan tangent.

Par exemple, Téquation (4) exprime que le plan tangent en un point est perpendiculaire au plan passant par ce point et par Taxe Oz ; cette propriété est commune à toutes les surfaces de révolution.

357. Problème inverse. — Nous venons de voir qu'on forme une équation aux dérivées partielles, soit en éliminant des constantes arbitraires, soit en éliminant des fonctions arbitraires. Inversement, la solution d'une équation donnée peut renfermer soit des constantes arbitraires: on rappelle alors solution ou intégrale complète, soit des fonctions arbitraires: on l'appelle solution ou intégrale générale', en donnant aux constantes ou aux fonctions des valeurs particulières, on obtient des solutions ou intégrales particulières.

Le plus souvent, on cherche à déterminer une solution particulière

VoGT. — Math. sup. 31

en imposant à la surface qu'elle représente la condition de passer par une courbe donnée ; cela constitue une condition initiale.

Gomme exemples d'équations aux dérivées partielles, nous citerons les suivantes :

1" L'équation du premier ordre — =f{x, y) a pour solution

cp étant une fonction arbitraire.

ô*z 2° L'équation du second ordre = 0 a pour solution

oxoy

/" et cp étant deux fonctions arbitraires, l'une de x, l'autre de y.

ô*z ô*z 3° L'équation des cordes vibrantes a* — — = — — a pour solution

ox* or

z = f{x --h al) -f- (p(x — at),

/" et (p étant des fonctions arbitraires.

358. Équation linéaire du premier ordre. — L'équation linéaire du premier ordre s'écrit ordinairement sous la forme

(5) ?[x, 2/, ^) Il + Q(^. y>^^^= ^(^' y^ ^) •

Si z est une solution, elle satisfait à l'identité

-^ dx -j- - — dy = dz ; ôx ^y ^

en comparant les deux relations précédentes, nous voyons que la première est satisfaite identiquement, en particulier, par les valeurs de Xy y, z telles que l'on ait

m dx dy dz

Les équations précédentes forment un système d'équations différentielles simultanées ; nous avons vu dans le chapitre précédent comment

ÔH ÔV

ôy ou

ou àv

ôr (>u

ou ôy ôi' ou

by ôz

01/ ôz

ôz ôx

ôz Ox

ÔX Ô(/ ÔJ 01/

Comme ces relations sont indépendantes des constantes Ci et C2, elles doivent être équivalentes au système (6) ; nous en concluons que l'on a identiquement

ou bv

ôt> ou

ou ôy

ôi' ou

ou ôy

ôt' ou

by Ôz

Ôy ôz

Ô3 ôx

ôs dx

ôj: ôy

ÔX Ôï/

mais, d'autre part, la fonction z, définie par l'équation (8;, satisfait, quelle que soit la fonction arbitraire 9, à la relation (2) du n° 356 ; en vertu des proportions précédentes, celle-ci peut être remplacée par l'équation (5) ; par suite, z satisfait bien à l'équation donnée, ce qui démontre la proposition.

on peut intégrer un tel système ; nous allons montrer que la connaissance de sa solution générale permet d'intégrer l'équation (5).

L'intégrale du système (6) est fournie par des équations de la forme (2) (n° 354) ; supposons qu'on les résolve par rapport aux deux constantes Ci et C^, et qu'on obtienne ainsi les deux relations

(7) . u(x, y, z) = Cl , r(x, y, z) = C2;

nous allons montrer que si l'on établit entre u et y une relation arbitraire, c'est-à-dire si l'on écrit

où (p est une fonction arbitraire, cette équation définit une fonction implicite z de x et y, qui est solution de l'équation (5).

En différentiant les équations (7), nous avons les deux relations

dx-h—-dy-h—-dz = 0, ôx ôy ôz

bv j , ôr f , ôy , ^ -— c/x -f- — - cry -f- -— - Jz = 0 : ôx oy ôz

nous déduisons de ces relations, en les résolvant par rapport à deux des différentielles en fonction de la troisième,

dx dy dz

amme exemple, considérons l'équation (4) du n" 356,

avons ici P = y, Q= — x, R = 0, et le système (6) se aux deux équations

dx dy dz

X dx-\-y dy = 0, dz=:0.

a solution générale de ce système est définie par les équations

a:»H-i/= — Cl, 3 = Cï;

'S, la solution générale de l'équation proposée est définie par

it une fonction arbitraire ; c'est l'équation générale des surfaces olution autour de 0; .

NOTES D'ALGÈBRE