rrr- < 8 - - ou

486 NOTES D* ALGÈBRE

Nous voyons que les termes de la série (1) jusqu'à un certain rang ont une somme inférieure à celle des termes de la série

celle-ci est une progression géométrique dont la raison ^ est inféra

rieure à 1 , et elle est convergente ; la série proposée est donc aussi convergente, et sa somme est au plus égale à celle de la progression précédente.

Comme application, la série 2^ est convergente; la série 111 1

a -h 6 4a -1-6 9a -h 6 ii*a-f-6

rest aussi, car le rapport de son terme général à celui de la série convergente 2 -- a une limite déterminée et non nulle quand n augmente indéfîniment.

360. Séries absolument convergentes. — On dit qu'une série est absolument convergente lorsque la série des valeurs absolues ou modules de ses termes est convergente ; la série proposée Test aussi, comme nous Tavons vu (n° 38).

Les séries absolument convergentes jouissent des propriétés démontrées en algèbre élémentaire pour les sommes d'un nombre fini de termes, ainsi que le montre le théorème suivant :

En changeant cVune manière quelconque V ordre des termes d^une série absolument convergente, on forme une autre série absolument convergente ayant même somme que la première.

Soit

la série donnée, et

(3) u[-hUi-\- • • • -f- Un' -+-•••

une nouvelle série constituée par les termes de la série (2) pris dans un autre ordre quelconque ; nous supposons toutefois que tous les

termes pris jusqu'à un rang déterminé n dans la série donnée se retrouvent avec un rang fini dans la nouvelle série, et qu'aucun d'eux ne se trouve rejeté indéfiniment loin. De cette façon, on peut toujours affirmer que les termes de la série (3) jusqu'à un rang donné n' sont constitués d'abord par tous les termes de la série (2) jusqu'à un certain rang n, puis par d'autres dont le rang dans cette série est compris entre 71 et n-]-p, les deux nombres n et n-hp augmentant indéfiniment avec n'.

Soit S^' la somme des n' premiers termes de (3), Pi^ et Qi^ la somme des termes positifs et la valeur absolue de la somme des termes négatifs dont elle se compose ; nous avons Si'=Pi' — Q^»; soient, de même, P„ et Q„ les sommes analogues relatives à la série (2) ; d'après les hypothèses faites, nous pouvons écrire

Pn < P»i' < Pn + pT Qn < Qn' <Qn + p-

Lorsque n' augmente indéfiniment, il en est de même de n et de n-h/>; P, et P„^.p sont des nombres inférieurs à la somme de la série des modules de (2) ; ils vont en croissant, et ont une même limite P; de même, Q„ et Qn+p ont une même limite Q; nous en concluons que Pi» et Qi- ont aussi pour limites P et Q. Cela nous montre d'abord que Pi-hQi' aune limite, c'est-à-dire que la série des modules des termes de (3) est convergente ; ensuite, que S^, a pour limite P — Q, qui est la somme de la série (2), par conséquent, la série (3) a la même somme que (2), ce qu'il fallait démontrer.

Les séries non absolument convergentes ne jouissent pas de la propriété précédente ; nous nous contenterons de mentionner ce fait que l'on peut, en changeant l'ordre des termes, changer la somme d'une telle série et même la rendre divergente.

361. Séries uniformément convergentes. — Considérons une série

(4) y = Ui{x)-hU2(x)-+- ... -4-H„(.T)-hiï„^,(x)-h •••

dont les termes dépendent d'une variable x, et supposons qu'elle soit convergente pour les valeurs de x comprises dans un intervalle {a, b) ; désignons par S„(a:) et par Rn{j^) la somme des n premiers termes et le reste correspondant; on dit que la série est absolument

i88 NOTES d'algèbre

convergente dans rintervalle (a, 6), si, pour une valeur suffisamment grande de n, le reste R„(a;) est aussi petit qu'on le veut, et cela quelle que soit la valeur donnée à x appartenant à Tintervalle (a, 6). Nous avons vu (n° 144) qu'une série entière en x

est convergente pour toute valeur de x inférieure en valeur absolue à un certain nombre positif Xq, ce nombre étant tel que |«nJ^î| reste, quel que soit n, inférieur à un nombre fixe M.

Nous allons montrer que cette série entière est uniformément convergente dans tout intervalle de la forme ( — Xi , -h Xi), Xi étant un nombre quelconque inférieur à Xq, En effet, le reste R„(x) est

égal à

R„(x) =or„x''-|-fl„^ïX"-^^

pour \x]<^Xi, sa valeur absolue est au plus égale à la somme des valeurs absolues de ses ternies pour x = Xi, et celle-ci est au plus égale au produit par M de la somme des termes de la série

\Xo/ Vxo/

en effectuant cette somme, nous avons

|R„(x)| ^M(iiy— ^;

comme Xi est inférieur à Xq, nous pouvons choisir n assez grand pour que le second membre de cette inégalité soit aussi petit qu'on le veut ; comme cela a lieu pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle ( — Xi, H- Xi), nous voyons que la série est uniformément convergente dans cet intervalle.

L'intérêt des séries uniformément convergentes réside dans le théorème suivant :

Une série dont les termes sont des fonctions continues et qui est uniformément convergente dans un intervalle est elle-même une fonction continue pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle.

Supposons que la série (4) soit uniformément convergente et ait

ses termes continus dans un intervalle [a, h) ; considérons une valeur de X et une valeur voisine x-{-h comprises dans cet intervalle ; nous allons montrer que la différence des valeurs correspondantes de la série tend vers zéro avec A. Écrivons en effet, en mettant en évidence la somme des n premiers termes de (4),

et formons la différence des valeurs de cette fonction pour x et x -h A ; elle est égale à

la deuxième parenthèse est la différence des valeurs de R„ pour deux valeurs de x comprises dans l'intervalle (a, h) ; comme la série est uniformément convergente, nous pouvons choisir n assez grand pour que ces valeurs soient aussi petites que Ton veut ; il en est de même de leur différence. La première parenthèse est Taccroissement de la fonction S„(a:), qui est la somme d'un nombre fini de fonctions continues, et qui est elle-même une fonction continue ; cet accroissement tend donc vers zéro avec h. Nous en concluons que la somme (5) est aussi petite qu'on veut, ce qui prouve bien que la fonction y est continue.

Le raisonnement du n"* 291 s'applique à une série uniformément convergente quelconque ; l'intégrale d'une telle série est représentée par la série des intégrales de ses termes ; si xq et x sont deux valeurs de l'intervalle où la série (4) est uniformément convergente, on a

(6) / ydx= I Ui[x)dx-\- 1 U2{x)dx-\- • • •

%y Xq t/ Xq *y Xq

Des égalités (4) et (6) on déduit inversement que la dérivée d'une série est représentée par la série des dérivées de ses termes dans tout intervalle où cette dernière série est uniformément convergente.