II. — DÉRIVÉES PARTIELLES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

362. Nous avons vérifié (n° 163) sur un exemple particulier ridentité des dérivées partielles fly et f% d'une fonction f de deux variables x et t/ ; nous allons démontrer que cette identité a lieu pour les fonctions usuelles; le raisonnement s'appliquerait immédiatement aux dérivées des fonctions d'un nombre quelconque de variables.

Soit f une fonction de deux variables x et y. Donnons d'abord à X un accroissement h, et considérons la différence

en supposant que f soit continue et admette une dérivée partielle par rapporta x dans tout l'intervalle (x^x-hh), nous pouvons lui appliquer le théorème des accroissements finis (n° 129) et écrire, en désignant par 0 un nombre compris entre 0 et 1,

f{x -f h, y)—f[x, y) = hf^^ix -h bh, y).

Donnons maintenant à y l'accroissement k, et formons la différence des valeurs des deux membres de l'identité précédente pour y et pour y -\-k\ nous aurons

(1) f{x-^-h,y-^k)-f{x,y-hk)^f(x-\-h,y)-hf{x,y)

= h[f^(x-^-bh,y-hk)^f^{x-^bh,y)\.

Si fx{x -h 6A, y) est une fonction continue par rapport à y et admet une dérivée par rapport à cette variable dans l'intervalle [y, y -f- /f), nous pouvons appliquer au second membre le théorème des accroissements finis ; ce second membre a pour valeur

(2) hkf:,{x-hbh,y-h^'k), f/ étant, comme 6, compris entre 0 et 1 .

Formons maintenant une nouvelle suite d'égalités analogues aux précédentes, mais en donnant d'abord à y Faccroissement k ; si / est continue et a une dérivée par rapport à y dans l'intervalle [y y y -h k), nous avons

/•(x, y -^ k) — f{x, y) = kfl{x, y -\-b[k);

si nous donnons ensuite à x Faccroissement h, et si fy{x, y -h^ik) est continue et a une dérivée par rapport à x dans l'intervalle

{x, x-f-/i), nous avons

(3) f{x -i- hy y -\- k)- f{x-h.h, y) — f{x, y ^ k)-h f{x, y)

= k[f;(x-hhy y + 6iA-)-/-;(x, i/-^ô;/f)],

et le second membre a pour valeur

(4) hkf;jx-h^ihyy-h-b[k),

^1 et ôî étant compris entre 0 et 1 .

Les premiers membres des équations (1) et (3) sont identiques; il en est de même des expressions (2) et (4), qui leur sont égales ; en les divisant par hk, nous avons la relation

(5) f;i,{x-i ()h,y-hQ'k)=:f;jx-{-Oih, y-hù[k).

Si nous supposons enfin que f^{x, y) et fyxiXy y) sont des fonctions continues de x et y pour le système de valeurs x, y, nous pouvons affirmer qu'en faisant tendre h et k vers zéro, les deux membres de l'égalité [IS) ont pour limites /ïy(x, y) et f^x{x, y); à la limite, ces deux dérivées sont donc égales entre elles. Nous pouvons dès lors énoncer ce résultat :

Si une fonction f[x, y) de deux variables est continue et possède des dérivées premières f!g, fy, ainsi que des dérivées secondes fly et /"jîi également continues, on peut affirmer que Von a fly=ify^.