III. — ÉLIMINATION. — THÉORÈHE DE BEZOUT

363. Élimination par déterminants. — Nous avons indiqué (n° 197) une méthode d'élimination d'une inconnue entre deux équations algébriques ; à l'aide de divisions, nous avons remplacé ces équations par d'autres, dont l'une est du premier degré ; nous avons exprimé que la solution de cette dernière satisfait à l'autre. Nous allons donner ici une autre méthode fondée sur la théorie des déterminants et sur celle des équations du premier degré. Nous considérerons deux équations dont l'une est du troisième degré et Tautre du second,

( 1 ) f[x) = AoX» -f- A,x2 H- AîX H- A3 = 0 ,

(2) cp(ar) = Box2 -h B,x -h B2 = 0 ;

les raisonnements seraient les mêmes dans le cas de deux équations de degrés quelconques.

Supposons que les équations (i) et (2) aient une solution commune ,T ; elle satisfait aux 3 -h 2 = 5 équations suivantes dont le degré est égal ou inférieur à 3-1-2 — 1=4,

xfix) —

AqX^ -h AiX^ -f- AjX^ -f- AaX

Aqx' -f- AiX^ -4- A2X -h A3

BoX* -4- Bix^ -h B^x*

Box^ -h B,x2 H- B2X

Box2 -h B,x -+- B2

Ces cinq équations sont satisfaites par un système de valeurs des (juantités x, x*, x', x^ que l'on peut considérer comme quatre inconnues entrant linéairement ; par conséquent, le déterminant des coefficients de ces inconnues et des termes constants doit être nul (n** 11);