ÉLIMINATION. THÉORÈME DE BEZOUT

nous obtenons ainsi la condition nécessaire suivante :

Le premier membre, que Ton appelle résultant de Télimination, est un déterminant facile à former ; il contient les coefficients de chacune des équations dans un nombre de lignes égal au degré de Tautre.

Nous allons montrer que la condition précédente, qui est nécessaire, est aussi suffisante et que, si elle est remplie, les deux équations (1) et (2) ont une racine commune. Pour cela, multiplions les éléments de la première colonne du déterminant (3) par x*, ceux de la seconde par a;', ceux de la troisième par x*, ceux de la quatrième par X, et ajoutons-les à ceux de la dernière ; nous obtenons ainsi un déterminant égal au premier, par conséquent nul, qui est

xf(x)

xcp{x)

cp(x)

Si nous développons le premier membre suivant les éléments de la dernière colonne, nous avons une identité de la forme

/•(x)(Lx-4-M) = cp(x)(Px2-4-Qx-hR);

les racines du premier membre doivent être les mêmes que celles du second; or, une seule au plus des racines de ^{x) qui entre ausccofid membre peut annuler le facteur Lx -f- M , par conséquent, une au moins des racines de ^[x) annule f[x), ce qu'il fallait démontrer.

364. Résolution de deux équations algébriques à deux inconnues .

— Soient deux équations algébriques à deux inconnues x et y,

Désignons par R{y) le résultant de l'élimination de x entre ces

NOTES d'algèbre

deux équations; si {xi, yi) est une solution du système (4), les deux équations en x

(5) f{x,yi)=0, (p(x,2^,) = 0

ont une solution commune égale à Xi, et le résultant de Télimination de X doit être nul ; or ce résultant n'est autre que R{yi) ; par suite, il est nécessaire que yi soit une racine de l'équation résultante R{y) =0. Réciproquement, si yi est une racine de cette équation résultante, les deux équations (5) ont au moins une racine commune; en calculant cette racine et en la désignant par j^i , le système (xi , yi) est une solution des équations (4). Nous avons donc ce résultat:

Pour résoudre deux équations algébriques à deux inconnues (elles que (4), on élimine l'une des inconnues x entre les deux équations; Véquation résultante fournit les valeurs de Vautre inconnue y ; à chacune des valeurs y, de y ainsi déterminées correspond au moins Une valeur Xi de x qui est la racine commune aux équations (5).

365. Théorème de Bezout. — Le nombre des solutions de deux équations algébriques de degré m et p est égal au produit mp des degrés de ces équations.

Nous allons le démontrer dans le cas des deux équations de degrés 3 et 2 ; le raisonnement serait le même dans le cas général.

En ordonnant les premiers membres suivant les puissances décroissantes de X, nous pouvons écrire les équations sous la forme (1 ) et (2), les coefficients Ao, Ai, . . . , Bq, B], ... contenant y à un degré au plus égal à l'indice.

Le résultant R(y) de l'élimination de x entre les deux équations

est le déterminant (3); nous allons voirqu'il est en y du degré 3x2 = 6.

. Si nous multiplions la deuxième ligne par y, la quatrième par y,

et la cinquième par î/'^, nous multiplions R(y) pari/*, et nous avons

y'Hy) =

Ao.y

Ajy

Boy

Bo.y^