I. — TRANSFORMATION DE COORDONNÉES DANS LE PLAN
APPLIiATIONS
366. Transformation de coordonnées. — Lorsque Ton a trouvé dans un système d'axes Oa?, Oy Téquation d'une courbe, et que Ton veut ultérieurement en étudier les propriétés, il y a souvent avantage à choisir de nouveaux axes placés d'une manière plus simple par rapport à la courbe, et à déterminer Téquation de cette courbe par rapport à ces nouveaux axes.
Le problème de la transformation de coordonnées est le suivant :
Etant donnés deux systèmes d'axes Ox, Oy, OV, O'y', exprimer les coordonnées X et y d'un point quelconque dans le premier système au moyen des coordonnées x' et y' du même point danr le second.
Lorsqu'il est résolu, il suffît de remplacer dans Téquation d'une courbe rapportée au premier système, a; et y par leurs valeurs en fonction de x' , y' pour avoir l'équation de cette courbe dans le second. Nous examinerons trois cas :
1*' Cas. — Les nouveaux axes sont parallèles aux premiers et dirigés dans le même sens.
Ces axes OV, O'y' sont complètement déterminés par les coordonnées a, b de la nouvelle origine 0'; considérons un point quelconque M et les deux segments 00' et O'M, ainsi que leur résultante
VocT. — Math. sup. 32
OM [fig, 104); leurs projections sur Taxe des x sont respectivement égales à a , x' et X, et sur Taxe des y à b, y' et y; le théotème des projections nous donne alors les relations
[{) x = a-hx', y=zb-\-y'.
JC'
Fig. 104.
Ces formules résolvent le problème, et elles subsistent dans tous les cas, que les coordonnées soient obliques ou rectangulaires.
2* Cas. — Les nouveaux axes ont même origine que les premiers.
Ëtant donné [fig, 105j le système d'axes rectangulaires Ox, Oy, le nouveau système Ox',Oy' sera complètement déterminé, qu'il soit rectangulaire ou oblique, par les valeurs algébriques des angles (Ox, Ox') et (Ox, Oy'). Considérons un point quelconque M, formons le contour OP'M de ses coordonnées x', y' dans le nouveau système, et projetons ce
contour et sa résultante sur les axes primitifs Ox, Oy; le théorème
des projections nous donne les formules
Fig. 105.
x^=x' cos (Ox , Ox') -h y' cos (Ox , Oy') , y = x' cos [Oy, Ox')-\-y' cos (Oi/, Oy') .
Le cas ordinaire est celui où le nouveau système est rectangulaire et présente la même disposition que le premier ; en désignant
mm
l'angle (Ox, Ox') par a, Tangle [Ox.Oy') est égal à a-h^ et les
ma
formules (2) deviennent
i x = x' cos oL-hy' cos I a -h — j = x' cos a — y' sin a , r y = x' cos ( ot — "7 ) + y' cos a = x' sin a -f- y' cos a .
TRANSFORMATION DE COORDONNÉES DANS LE PLAN
3* Cas. — On fait un changement quelconque d'axes.
Soient (/îgr. 106) OV, O'y' les nouveaux axes ; ils sont complètement déterminés parles coordonnées a, 6 delà nouvelle origine, et par les angles (0«, OV), (Ox, O'i/'). Considérons un système d'axes intermédiaires O'iTi, O'yi parallèles aux premiers et de même origine que les seconds, et appelons Xi,yi les coordonnées d'un point M dans ce système; les formules (1) nous donnent
Fig. 106.
x^fl-hxi, y = b-\-y^.
et les formules (2) ou (3) nous donnent les valeurs de x^ et yx en fonction de x' et y' ; nous en déduisons immédiatement, en supposant les nouveaux axes rectangulaires,
' x^= a-\-x' cos a — y' sin a ,
X sm a H- y cos a
Il est essentiel de remarquer que toutes ces formules contiennent les coordonnées au premier degré; il en résulte que le degré d'une équation algébrique entre x et y, c'est-à-dire l'ordre de la courbe algébrique qu'elle représente ne change pas lorsqu'on fait une transformation quelconque de coordonnées.
867. Réduction de réquatlon du second degré à deux variables. Changement de direction des axes . — Ëtant donnée la courbe représentée, dans un système d'axes de coordonnées Ox, Oy, par l'équation générale du second degré écrite sous la forme
\x^ -f- 2Bxy -4- Cî/« -f- 2Dj: H- 2Eî/ -f- F = 0,
nous nous proposons de chercher un nouveau système d'axes tels que la courbe soit représentée, dans ce nouveau système, par une équation plus simple.
Un premier cas est celui où l'on a A — C et B = 0 ; l'équation représente une circonférence (n* 89) ; en transportant les axes parallè-
lement à eux-mêmes de façon que la nouvelle origine soit le centre de la courbe, on met l'équation sous la forme
x'^H-ys — R2 = 0.
Lorsque la courbe n'est pas une circonférence et que B n'est pas nul, on fait d'abord un changement d'axes de coordonnées en conservant l'origine, de façon que le coefficient de xy soit nul dans la nouvelle équation. Si les nouveaux axes Ox', Oy' sont rectangulaires, et si Ox' fait un angle a avec Ox^ les formules de transformation sont les formules (3), et l'équation (5) devient
(6) Mx'^ -h 2^'x'y' -f- C'y'* -h 2D'x' -h 2E'y' -4- F = 0 , dans laquelle les coefficients ont les valeurs
A' = A cos* a -+- 2B sin a cos a H- C sin* a ,
(7) \ B' = Bcos2a — (A — C)sinacosa — Bsin*«,
C = C cos* a — 2B sin a cos a -h A sin* a ;
D' = D cos a -f- E sin a ,
(8) { E' = Ecosa — Dsina,
Pour que B' soit nul, il faut et il suffit que a satisfasse à la condition
(9) Btg*a-f-iA--G)tga — B = 0;
cette équation en tg a a deux racines réelles dont le produit est égal à — 1 , et à chacune d'elles correspond une droite indéfinie sur laquelle on peut choisir la direction Ox' dans un sens ou dans l'autre ; comme le coefficient angulaire du nouvel ave Ox' est précisément égal à tg a, on voit qu'aux deux racines de l'équation (9) correspondent deux droites indéfinies rectangulaires, puisque le produit de leurs coefficients angulaires est égal à — 1 , et l'on peut prendre pour Ox' l'une ou l'autre des deux directions opposées qui existent sur chacune de ces deux droites.
Lorsque l'on a déterminé l'axe Ox', on trace l'axe Oy' faisant
avec le premier l'angle + ^r ; on voit que les deux droites indéfinies
ma
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sur lesquelles sont placés Ox' et Oy' sont précisément les deux droites correspondant aux racines de Téquation (9), et leur ensemble est dès lors déterminé d'une manière unique.
368. Invariants. — Nous allons indiquer immédiatement la propriété suivante de la transformation de coordonnées que nous avons employée ; quelle que soit la valeur de a, les trois quantités
