AC — B

= F(AC — B«) -f- 2BDE — AE« — CD^

ont la même valeur lorsqu'on les forme au moyen des coefficients de Téquation (5) ou au moyen des coefficients de Téquation transformée (C) ; on dit pour cela que ce sont des invariants de la transformation.

En ce qui concerne la première de ces trois quantités, les formules (4) montrent immédiatement que Ton a

A'-4-C'=A-hC;

pour démontrer la propriété invariante des deux autres, nous introduirons Tangle 2a dans les expressions de A', B', C et dans celles de D'\ D'E\ E'\ et nous écrirons

2A' = (A -h C) -f- (A — C) cos 2a -f- 2B sin 2a, 2B' = 2B cos 2a — (A — C) sin 2a , 2C' = (A -h C) — (A — C) cos 2a — 2B sin 2a. 2D" = D2 -h E2 -f- (D« — E«) cos 2a -h 2ED sin 2a , 2D'E' = 2DE cos 2a — (D* — E^) sin 2a , 2E'* = D^ -f- E^ — (D* — E2) cos 2a — 2ED sin 2a .

Comme F' est égal à F , nous vérifions sans peine que Ton a

F{X'C — B'2) -f- 2B'D'E' — A'E'* — CD'^ = F(AC — B«)