BDE — AE* — CD

Nous concluons de là, en particulier, que A'C — B'* est nul ou n'est pas nul en même temps que AC — B* et que ces deux quantités ont le même signe; le genre de la courbe, ellipse, hyperbole ou parabole, tel que nous Tavons défini au n° 233, n'est donc pas altéré par la transformation.

369 . Lorsque a est choisi de telle sorte que B' soit nul ; il résulte de ce qui précède que A'C est égal à AC — B* ; si cette quantité n'est pas nulle, Téquation (6) prend alors la forme

(10) AV* -f- C'y'* -f- 2DV -f- 2E'y' + F' = 0,

dans laquelle A' et C ne sont pas nuls ; ils ont le même signe si la courbe est du genre ellipse et des signes contraires si la courbe est du genre hyperbole.

Lorsque la courbe est du genre parabole, AC — B* est nul, par suite, A'C est aussi nul, et Tun des coefficients A' ou C est égal à

zéro. Les racines de Téquation (9) sont dans ce cas égales à — — et

— ; si Ton prend la première comme valeur de tg a, on trouve que

B' et A' s'annulent en même temps, et l'équation (6) prend alors la forme

(il) C'y'* H- 2D'ar' -f- 2E'y ' -f- F' = 0 .

370. Changement d*orlgine. — Lorsque l'équation de la courbe est privée de terme en xy, ou est ramenée à l'une des formes (10) ou (11), on simplifie les termes du premier degré et le terme constant en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes en un point convenablement choisi ; on emploie pour cela les formules de transformation (1) du n'' 366.

Soient 0"x\ 0"y" les nouveaux axes parallèles aux axes Ox', Oy' déterminés précédemment, a' et h' les coordonnées de la nouvelle origine ; les formules de transformation sont

l'équation (0), dans laquelle nous sapposerons, pour plus de généralité, que B' est quelconque, se transforme en

A V* -h 2Wx"y'' H- Cy * H- 2DV -4- 2E''y'^ -+- F'' = 0,

TRANSFORMATION DE COORDONNÉES DANS LE PLAN

OÙ l'on a

k'a'^ -h 2B'ab' -h Cb'^ -i- 2D'a' -f- 2E'6' -f- F^

Nous allons d'abord démontrer que les trois quantités A -f- C, S et A sont encore des invariants pour une semblable transformation ; les termes du second degré ayant les mêmes coefficients, nous voyons déjà que Ton a

A" -f- C = A' -f- C\ • A'"C' — B"» = MQJ — B'* ; il nous reste à montrer que le déterminant

est aussi un invariant. Remplaçons les lettres par leurs valeurs (12 j, puis retranchons des éléments de la dernière colonne ceux de la première multipliés par a' et ceux de la seconde multipliés par b' ; de même, dans le déterminant obtenu, retranchons des éléments de la dernière ligne ceux de la première multipliés par a! et ceux de la seconde multipliés par &', nous ne changerons pas la valeur du déterminant, et nous vérifierons qu'il se réduit au déterminant A formé avec les coefficients de l'équation (6) ; la proposition se trouve donc démontrée.

871. Cela posé, plaçons-nous d'abord dans le cas d'une courbe du genre ellipse ou du genre hyperbole, dont l'équation est déjà ramenée à la forme (10), et faisons le changement de coordonnées défini par les équations

les termes du premier degré disparaissent, et la nouvelle équation a la forme

A V + Cy ^ + F" = 0 ;

A" et G" sont égaux à A' et C ; quant à F*, on peut le calculer directement, mais il est plus simple de s'appuyer sur la propriété du déterminant A démontrée dans le n° précédent ; il a la même valeur pour les équations (5), (10) et (13); pour la dernière, il est égal à A"CT"; on a par suite

A'^G'^F' = A, et comme on a A'G' = A'C' = AC — B*, on trouve finalement

Si A est nul, Téquation (13) devient homogène, et elle représente deux droites issues de la nouvelle origine ; elles sont réelles ou imaginaires suivant que A" et G" sont de signes contraires ou de même signe, c'est-à-dire si la courbe est du genre hyperbole ou du genre ellipse.

Si A n'est pas nul, F'' ne Test pas non plus ; lorsque la courbe est du genre ellipse, A'' et G'' sont de même signe, et en divisant les deux membres par F*^, on peut toujours, suivant les signes respectifs de A" et de F", ramener Téquation (13) à Tune des deux formes

La première représente une ellipse, telle que nous Tavons définie et étudiée au n° 90 ; la seconde n'est satisfaite par les coordonnées d'aucun point réel, car son premier membre n'est jamais nul ; on dit qu'elle représente une ellipse imaginaire.

Lorsque la courbe est du genre hyperbole. A" et G' sont de signes contraires ; on peut alors ramener l'équation (13) à Tune des formes

^ 1 = 0, ^^ — hl =0;

elles représentent toutes deux une hyperbole telle que nous l'avons définie aux n°" 93 et 95.

372. Plaçons-nous maintenant dans le cas d'une courbe du genre parabole, dont l'équation est déjà ramenée à la forme (H) ; nous avons

TRANSFORMATION DE COORDONNÉES DANS LE PLAN 505

VU que le déterminant A a la même valeur pour Téquation donnée (5) et pour réquation transformée (11); pour celle-ci, ce déterminant se réduit à — C D'^ ; nous en concluons, C n'étant pas nul, que D' est différent de zéro ou égal à zéro suivant que A est lui-même dilTérent de zéro ou égal à zéro.

Dans le premier cas, nous transporterons les axes parallèlement à eux-mêmes au point de coordonnées

l'équation prendra alors la forme

et D" ne sera pas nul, car — CD'^ est égal à A, qui est dilTérent de zéro. En divisant les deux membres par G" et en remplaçant au besoin les directions OV, O^y" des axes de coordonnées par les directions opposées, ce qui revient à changer le signe de x\ on ramènera cette équation à la forme

y"^ — 2px" = 0 ;

elle représente une parabole telle que nous l'avons définie au n° 97.

Dans le second cas, où A est nul, D' est également nul, et Téquation (11) représente deux droites parallèles à l'axe Ox'.

Remarque. — Les résultats que nous avons obtenus dans le numéro précédent, joints à ceux que nous venons de trouver, en particulier lorsque A est nul, conduisent aux conclusions suivantes :

On reconnaît que Véqualion générale dn second degré représente deux droites à ce que le déterminant A est nul.

On détermine ces deux droites en effectuant le calcul qui donne les asymptotes de la courbe qu'elles constituent, comme il est indiqué au n« 233.

Lorsque A n'est pas nul, les seules courbes réelles représentées par l'équation du second degré sont la circonférence, l'ellipse, l'hyperbole et la parabole telles que nous les avons définies au chapitre V de la deuxième partie.

873. Intersection de deux conique». — Les coordonnées des points

communs à deux coniques S et Si représentées par les équations

f{x,y)=Xx^ -h2Bxi/ -hCy^ -f-2Dx -f-2Eî/ -4-F =0, ( (p(ar, y) = Ai^r* -h 2Bixy + C,î/» -I- 2D,x-f- 2Ety h- F, = 0

sont les valeurs de x et de y qui satisfont à la fois à ces deux équations ; pour les trouver, on élimine entre elles une des inconnues, par exemple x; le procédé le plus simple consiste à former une combinaison qui renferme cette inconnue au premier degré, et à Téliminer entre cette nouvelle équation et Tune des premières ; on obtient ainsi une équation résultante R{y) = 0 , qui est en général du quatrième degré et fournit les ordonnées des points cherchés ; à chaque racine de cette équation correspond une valeur de x, par suite, un point commun aux deux coniques. Les deux courbes ont ainsi en général quatre points communs, comme l'indique du reste le théorème de Bezout (n° 365).

Lorsque Tune des coniques S ou Si est réduite à un système de deux droites, il suffit, pour trouver leurs points communs, de déterminer les points où chacune de ces droites coupe l'autre conique.

L'équation

f{^yy)-^^^^{'^>y) = ^

représente, quel que soit /, une conique S2 qui passe par les points

communs aux deux coniques S et Si ; cette remarque permet de simplifier dans certains cas la recherche des points communs à ces deux coniques, car on peut remplacer Tune d'elles par la conique S^ et choisir X de façon que le déterminant A relatif à Téquation de cette conique soit nul ; elle se réduit alors à un système de deux droites.

Supposons que la conique Si se compose de deux droites, et que «p(x, y) soit décomposable en un produit de facteurs du premier degré que nous représenterons

par P et Q, ces facteurs égalés à zéro représentant les deux

droites; l'équation (15) prend alors la forme

TRANSFOBMATIOX DE COORDONNÉES DANS LE PLAN

toutes les coniques qu'elle représente, telles que S^ [fig. 107), passent

par les points communs à S et aux deux droites.

Lorsque ces droites viennent se confondre, Q devient identique à P; les quatre points communs viennent se confondre deux à deux ; la conique Sj est alors représentée par une équation de la forme

/•(^,i/)-l-XF = 0.

Fig. 108.

On peut vérifier que les tangentes à S et S2 aux points communs à S et à la droite P = 0 sont les mêmes ; on dit dans ce cas que les coniques S et Sa sont bitang entes.