CM' CM

Si M décrit une ligne donnée, le point M' décrit une ligne qui est dite l'homothétique de la première. Suivant que h est positif ou négatif, l'homothétie est appelée directe ou inverse.

Étant donnée Téquation d'une ligne S en coordonnées cartésiennes, nous allons former l'équation de la ligne S' homothétique de S, connaissant le rapport k et les coordonnées (xq, i/o) du centre C; si [x^y) et [x'^y') sont les coordonnées de deux points M et M' correspondants ou, comme on dit, homologues, nous avons

x' — xç^ ^ y' — yo ^ CM' __^, X — Xft V — i/o CM '

nous en déduisons les formules de transformation

(16) ^^a/ + (/c-l)x,^ y^y'+(fc-l)y.

Il suffît de remplacer x et y par les valeurs précédentes dans Téquation de la ligne S pour obtenir Téquation de la ligne homothétique S'; comme les formules (14) sont du premier degré, les deux lignes S et S' ont le même ordre lorsqu'elles sont algébriques.

On vérifie en particulier que Thomothétique d'une droite est une droite parallèle à la première.

Supposons que S soit une conique représentée par Téquation

(17) Ax^ + 2Bxy -h Cy^ -\- 2Dx -h 2Ey -h V = 0 ,

réquation de la conique homothétique est, après avoir multiplié les deux membres par /r*,

(18) Ax'» -f- 2Bx'y' -f- Cy'^ + 2DV -h 2E'î/' h- F' = 0 ;

les coefficients A, B, G sont les mêmes que dans Téquation donnée, et les autres ont pour valeurs

( D'=(Axo+Byo)(A— i)H-DA:,

(19) I E'=(Bxo-hCyo)(/f-i) + EA,

i¥' = {Axl-{-2Bxoyo-^Cyl){k-\y-\'2{])xo-hEyo)k{k-i)-{-Fk^\

on voit que les équations de deux coniques homothétiques ont, à un facteur près, les mêmes termes du second degré.

Réciproquement, si deux coniques rapportées aux mêmes axes sont telles que les termes du second degré dans leurs équations aient leurs coefficients respectivement proportionnels, ces deux courbes sont homothétiques ; supposons en effet que Ton ait rendu identiques les coefficients des termes du second degré en multipliant au besoin Tune des équations par un facteur convenable, et que les deux coniques soient représentées par les équations (17) et (18); les trois relations (19) permettent de déterminer les trois quantités Xq, i/o et k\ en les prenant comme coordonnées du centre et comme rapport d'homothétie, Tune des coniques se confond avec Thomothétique de Tautre, ce que nous voulions établir. Nous avons donc le théorème suivant:

TRANSFORMATION DE COORDONNÉES DANS LE PLAN S0

La condition nécessaire et suffisaniepourque deux coniques soient homothéiiques est que les termes du second degré dans leurs équations^ aient leurs coefficients proportionnels.

Par exemple, deux circonférences représentées par les équations

x«-f-y2-|-2ax -h26î/ H-c =0, x2 -f- î/2 -f- 2a' X -h 2fe'y -4- c' = 0

sont toujours homothétiques ; on constate, soit géométriquement, soit par la résolution d'équations analogues à (19), qu'elles peuvent être considérées comme homothétiques directes ou comme homothétiques inverses ; les rapports d'homothétie sont égaux et de signes contraires, et égaux en valeur absolue au rapport des rayons ; les centres d'homothétie partagent la ligne des centres des deux circonférences en segments proportionnels aux rayons. Les points commims aux deux courbes, sont à rintersection de l'une d'elles et de la droite dont on obtient l'équation en retranchant membre à membre les deux précédentes :

cette di'oite est appelée axe radical des deux circonférences.

Si •