DIAMÈTRES ET AXES DES CONIQUES

est le milieu de la corde MM\ les deux valeurs de p fournies par

Téquation précédente sont égales et de signes contraires, et leur somme

doit être nulle ; en écrivant cette condition, nous trouvons entre x

et y la relation

fx cos a -h /*y sin a = 0,

ou bien, en remplaçant tg a par le coefficient angulaire m de la direction donnée,

cette relation est la condition nécessaire et suffisante pour que le point {X, y) soit le milieu d'une coi'de de coefficient angulaire m ; elle est donc réquation du lieu des milieux de ces cordes; c'est-à-dire du diamètre. Comme elle est du premier degré, nous concluons que tout diamètre (ïune conique est une droite.

Remarque. — Lorsque la corde MM\ en se déplaçant parallèlement à elle-même, devient tangente à la courbe, le point de contact est sur le diamètre correspondant ; nous voyons donc que le diamètre d'une direction de cordes passe par les points de contact des tangentes parallèles à cette direction ; c'est du reste ce que montre Tidentité de l'équation du diamètre et de celle que nous avons trouvée au n° 218.

376. Centre. — Si la conique représentée par Téquation (1) a un centre, ce centre doit partager en deux parties égales toutes les cordes qui passent par lui; il doit donc appartenir aux diamètres de toutes ces cordes, et ses coordonnées doivent satisfaire à Téquation (2), pour toute valeur de m ; nous en concluons qu'elles doivent annuler séparément les deux dérivées /i et fy . Réciproquement, tout point dont les coordonnées satisfont à ces conditions appartient aux diamètres de toutes les directions de cordes et est centre de la conique ; nous avons donc ce résultat:

On obtient les coordonnées d*un centre d'une conique en résolvant les deux équations

ces équations, développées, s'écrivent

kx-hBy-hD = 0, Bx-hCy-{-E = 0\

elles ont toujours une solution et une seule dans le cas où le déterminant des inconnues, qui est AC — B*, n'est pas nul, c'est-à-dire dans le cas où la conique est du genre ellipse ou du genre hyperbole.

Lorsque AC — B^ est nul, les équations n'ont aucune solution ou en ont une infinité; on peut vérifier que si la conique est une véritable parabole, les équations n'ont aucune solution; on dit que le centre est rejeté à l'infini ; si la conique est formée de deux droites parallèles (n° 233), les équations se réduisent à une seule, et la conique a une infinité de centres situés sur la droite équidistante des deux droites dont elle est formée.

Remarquons que si D et E sont nuls, les équations précédentes sont satisfaites par x = 0, ^ =0, et l'origine est centre de la courbe.

377. Diamètres conjugués et axes. — L'équation (2) du diamètre de la direction m est, en développant les calculs,

Aa; -+- B y H- D -f- m{Bx-hCy -h E) = 0 ;

le coefficient angulaire m' de cette droite a pour valeur

, A + Bm .

B-hCm '

on déduit de là qu'entre m et m' existe la relation (3) A -h B(m -h m') -h Cmm' = 0 .

Elle est symétrique en m et m' ; on en conclut qu'inversement le diamètre de la direction m' a pour coefficient angulaire m ; les deux directions m et m' sont dites conjuguées. Dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole, deux diamètres passant par le centre et dont les directions sont conjuguées sont appelés diamètres conjugués; chacun d'eux coupe en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.

Les directions des axes d'une conique sont deux directions conjuguées, et de plus rectangulaires ; leurs coefficients angulaires satisfont à la relation (3) et de plus à la condition de perpendicularité

mm' -1-1=0.