DIAMÈTRES ET AXES DES CONIQUES SI

Pour trouver les coefficients angulaires des axes, il suffit de remplacer m' par dans la relation (3) ; on a ainsi Téquation

Bm2 + (A — C)m — B = 0,

qui est du second degré en m ; elle a deux racines réelles dont le produit est égal à — 1 ; ces deux racines sont donc les coefficients angulaires de deux directions rectangulaires.

Lorsqu'on a ainsi trouvé les directions des deux axes, il suffit de déterminer le diamètre de chacune de ces directions par avoir Taxe parallèle à Tautre ; on peut remarquer que Téquation précédente est identique àTéquation (9) du n** 367, qui a servi à trouver les directions des nouveaux axes de coordonnées dans la réduction de Féquation du second degré ; on vérifie facilement que les axes Ox' et 0^' dont il est question dans cette réduction sont en effet parallèles aux axes de la conique.

378. Diamètres de l'ellipse. — Appliquons les considérations précédentes à Tellipse représentée par Féquation

^ + 11-1 = 0 Le diamètre de la direction m a pour équation

son coefficient angulaire m! a pour valeur — » de sorte qu'entre

m et m' existe la relation

(4) • mm' = - — \

c'est la relation qui existe entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués. Comme le produit mm! est négatif, on voit que deux diamètres conjugués tels que MM| et M'Mi [fig. iii) sont toujours situés dans des angles difiérents formés par les axes Ox, Oy. On peut ajouter, d'après la remarque du n° 375, que les tangentes aux extrémités de chaque diamètre sont parallèles au diamètre conjugué; par suite, les tangentes en M, Mi, M' et MJ forment un parallélogramme circonscrit à Tellipse.

VoGT. — Math. sup. 33

Mi NOTES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Lorsqu'on prend comme axes de coordonnées Ox' et Oy^ deux

diamètres conjugués d une ellipse tels que OM et OM', Téquation de la courbe doit être telle qu'à chaque valeur de a/ correspondent deux valeurs de y' égales et de signes contraires, et à chaque valeur de y' Fig- it*- correspondent égale-

ment deux valeurs de x' égales et de signes contraires ; cela ne peut avoir lieu que si réquation ne renferme ni x' ni y' au premier degré ; elle a donc la

forme

AV«-f-Cy*-f-F' = 0;

on peut récrire, en introduisant les longueurs OM = a' et OM' = b' des demi-diamètres conjugués,

On voit qu'elle a la même forme que lorsque Tellipse est rapportée à ses axes, mais il faut remarquer toutefois que deux diamètres quelconques forment un système d'axes de coordonnées obliques.

379. Théorèmes d'Apollonius. — La somme des carrés de deux diamètres conjugués d^une ellipse est égale à la somme diBS carrés des axes.

La surface du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est égale à la surface du rectangle construit sur les axes.

Soient {x, y) les coordonnées de l'extrémité M d'un diamètre, {x', y') celles de l'extrémité M' du diamètre conjugué; si (p et ç' sont les paramètres angulaires relatifs à ces deux points, on a

a: = acoscp, i/ = 6sin«p,

a;' -= a cos îp' , y' = b %m f^' .

DIAMÈTRES ET AXES DES CONIQUES 5l5

D'après la relation (4) qui existe entre les coefficients angulaires

et m' = -^ des deux diamètres, on a entre cp et ©' la

6* sin cp sin 9' fc*

relation

a^ cos (p cos cp' a*

ou bien tg cp tg 9' = — 1 ;

on en conclut que 9' est égal à ? -f- -^ ou à 9

On peut adopter pour 9' la valeur 9-f-^; Tautre valeur corres-

pondrait au point Mî diamétralement opposé à M' et rien ne serait changé dans les conclusions qui suivent ; en remplaçant 9' par cette valeur, on a

x' = — a sin 9 , y' =zb cos 9 .

La somme des carrés des diamètres MM,, M'MJ est égale à 4(a?« -h y* -h x!-^ -h y'^) ; en remplaçant x, y, x', y' par leurs valeurs, on trouve qu'elle est égale à ^[a^-^b^), et le premier théorème est démontré.

La surface du parallélogramme construit sur les deux diamètres est égale à 40M.MT, en désignant par MT la perpendiculaire abaissée de M' sur MM, ; or on a OM = \/x^ h- y^ ; d'autre part, en appelant X et Y les coordonnées courantes, la droite OM a pour équation

Yx— X2/=0,

et la distance du point M' à cette droite est égale (n° 87) à

on a donc

4 OM.M'P = 4{y'x — x'y)= iab{cos^ 9 -+- sin'^ 9) = 4a6 ,

et le second théorème est démontré.

Si l'on désigne par a' et 6' les longueurs de deux demi-diamètres conjugués OM,OM', et par 6 l'angle qu'ils font entre eux, les théorèmes d'Apollonius s'expriment par les deux relations

a" -h 6'^ = a^-^b\ a'b' sin ^ = ab.

380. Diamètres de Thyperbole. — Pour trouver les propriétés des diamètres de Tbyperbole représentée par Téquation

il suffit de changer fc* en — 6* dans les résultats trouvés pour Tellipse ; Téquation qui lie les coefficients angulaires m et m' de deux diamètres conjugués est

mm =

m et m' sont toujours de même signe, mais, leur produit étant — r-,

Fun est en valeur absolue inférieur à — et Tautre est supérieur à cette

quantité ; comme — est la valeur abs:»lue du coefficient angulaire des

asymptotes, on voit que deux diamètres conjugués CM, OM' de

Thyperbole sont toujours dans le même angle des axes Ox, Oy, mais sont toujours séparés par les asymptotes {fig. 112); Tun rencontre en des points réels M et Mi Thyperbole donnée , l'autre la rencontre en des points imaginaires, mais coupe Thyperbole conjuguée en des points réels M' et MJ. On vérifierait facilement que les tangentes aux deux courbes en ces quatre points forment un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux diamètres.

En désignant par a' et b' les longueurs des demi-diamètres conjugués OM et OM', Téquation de la courbe rapportée à ces demidiamètres comme axes est

Fig. 112.