DIAMÈTRES ET AXES DES CONIQUES
381. Hyperbole rapportée à ses asymptotes. — Ëtant donnée une hyperbole rapportée à ses axes et représentée par
nous allons chercher son équation lorsqu'on prend pour axes de coordonnées ses deux asymptotes que nous appellerons Ox' et Oy' (/îgr. 1 13) ; nous emploierons pour cela la transformation de coordonnées telle qu'elle est indiquée par les formules (2) du n" 366.
L'angle (Oa?, Oy') a un cosinus et un sinus respectivement égaux à
= et
Fig. H3.
étrangle (Ox, Ox') est égal et de signe contraire au précédent ; nous trouvons de cette façon
)Ja'
En substituant ces valeurs dans l'équation (5), nous avons la relation
qui représente Thyperbole rapportée à ses asymptotes ; elle exprime que le produit OP'.OQ' des nouvelles coordonnées du point M reste constant.
382. Diamètres de la parabole . — Le diamètre de la direction m dans la parabole représentée par
est, en appliquant l'équation (2), donné par
— />-f-mi/=0;
on voit que ce diamètre est une droite parallèle à l'axe de la courbe.
En prenant comme axes de coordonnées un diamètre O'x' de la
parabole et la tangente O'y' à Textrémité, Téquation de la courbe a la
forme
mais les axes de coordonnées ne sont rectangulaires que lorsqu'ils sont formés par Taxe de symétrie de la parabole et par sa tangente au sommet.
Lorsque Téquation générale du second degré représente une parabole, la direction de Taxe de cette courbe est celle d'un diamètre quelconque, en particulier , celle des droites représentées par /"i = 0 ou fy = 0\ c'est donc la direction de lune des droites
Ax-4-Bi/ = 0, Bx-hCy = 0.
On a Taxe lui-même en cherchant le diamètre conjugué des cordes perpendiculaires à la direction précédente.
m. — FOYERS ET DIRECTRICES DES CONIQUES
383. Définitions. — Nous avons vu {n^ 240) que le lieu des points du plan dont le rapport des distances à un point F et à une droite A est égal à un nombre e, est une conique, et que cette courbe est du genre ellipse, du genre hyperbole ou du genre parabole suivant que e est inférieur, supérieur ou égal à i .
Nous allons montrer inversement que toute courbe du second ordre peut être engendrée de cette façon ; à chaque foyer F tel qu'on Tentend en géométrie élémentaire, on peut faire correspondre une droite A, appelée directrice relative à ce foyer, et telle que le rapport des distances d'un point de la courbe au foyer et à la directrice est constant; ce rapport, que Ton désigne par e, s'appelle excentricité.
384. Ellipse. — Considérons Tellipse rapportée à ses axes et représentée par Féquation
où a est > 6 [fig, 114); soit F le foyer situé sur Ox, et d'abscisse c = y/a* — 6* ; le carré de la distance p de ce foyer à un point M de la courbe de coordonnées {x,y) est égal à {x — c)'-hy*; en remplaçant y* par sa valeur tirée de l'équation (1), on a
p2==(x — c)2 4--^(a«--x*) = -^--2ca;-j-a* = ('a--— V; comme x et c sont en valeur absolue inférieurs à a^ on obtient
toujours pour p une valeur positive en écrivant
ex
p = a » ou encore p
Hi-'}
si Ton trace une droite A perpendiculaire au grand axe et d'abscisse
Fig. 114.
OD = — » X représente la distance MH du point M à
ce
cette droite, et la relation précédente nous montre que Ton a
MF MH
on voit que la droite A est la directrice de Tellipse correspondant
au foyer F et que Texcentricité e est égale à — ; elle est inférieure à Tunité.
Si Ton considère le foyer F' d'abscisse — c, on trouve, d'une manière analogue, que la distance MF' a pour valeur
ex a
ou
bien p' = — (a;-!-— |; a\ c J
MF
cette relation nous montre que le rapport -— — des distances du point
MH'
M au foyer F' et à la droite A' d'abscisse est encore égal à
; la droite A' est la directrice de l'ellipse correspondant au foyer F'.
