CHAPITRE V

24. Limite d'une suite déterminée. — Soit a un nombre auquel on attribue une suite indéfinie de valeurs

on dit qu'une telle suite est déterminée lorsqu'on donne le moyen de calculer un terme de rang quelconque dès qu'on connaît le rang de ce terme ; par exemple, la suite des valeurs

est déterminée ; le terme de rang n est égal à j ; on l'appelle terme

général ; de même, la suite des nombres

qui sont les valeurs approchées par défaut de v/2 avec 1,2,3, ... chiffres décimaux est déterminée, car on sait calculer le terme de rang u qui est la valeur approchée de \2 avec n chiffres décimaux.

On dit qu'une suite telle que (1) a une limite À si la différence entre A et les termes successifs de cette suite devient et reste en valeur absolue plus petite qu'un nombre quelconque pris aussi petit qu'on le veut. Cela signifie que si l'on donne un tel nombre e, on peut trouver un rang p assez élevé pour que tous les termes dont le rang n est égal ou supérieur à p soient compris entre A — £ et A-f-e.

Par exemple, la limite de la suite (2) est égale à l'unité ; la différence entre 1 et le n* terme est en effet égale à

n-hl ~ n-h 1

et elle devient et reste plus petite que n'importe quel nombre.

Les nombres d'une suite peuvent être indifféremment supérieurs ou inférieurs à leur limite ; la suite

a pour limite zéro, et ses termes sont alternativement supérieurs et inférieurs à cette limite.

La suite (3) n'a pas de limite au sens défini précédemment, car il n'existe aucun nombre entier ou fractionnaire dont ses termes s'approchent indéfiniment. Comme ils finissent par rester compris entre deux valeurs approchées quelconques de v/2, l'une par excès et l'autre par défaut, on dit par extension que la suite a pour limite le nombre irrationnel v/2.

Dans tous les cas, si une suite telle que (1) a pour limite un nombre rationnel ou irrationnel A, la valeur absolue de la différence A — cr„ devient et reste plus petite que n'importe quel nombre aussi petit que Ton veut : on dit encore pour abréger que cette différence tend vers zéro.

25. Principe londamentai . — Nous admettrons comme un principe, sans entrer dans le détail d'une démonstration qui nous entraînerait trop loin, que si les termes d'une suite sont tels que chacun d'eux est égal ou supérieur à celui qui le précède ou, comme on dit, vont en croissant, et s'ils restent inférieurs à un nombre donné, cette suite a une limite au plus égale à ce nombre.

De même, si les termes d'une suite sont tels que chacun d'eux est égal ou inférieur à celui qui le précède ou, comme on dit, vont en décroissant, et s'ils restent supérieurs à un nombre donné, cette suite a une limite au moins égale à ce nombre.

Lemme I. — Si Von multiplie les termes d'une suite aijant pour limite zéro par des facteurs restant inférieurs en valeur absolue à un nombre fixe M, on forme une suite de termes ayant également pour limite zéro.

On peut affirmer que les valeurs absolues des termes de cette seconde

30 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

suite deviennent et restent inférieures à un nombre quelconque e pris aussi petit qu'on veut; il suffît en effet que celles des termes de la pre-

mi ère deviennent et restent inférieures à --- » ce qui a lieu par hypothèse

à partir d'un rang suffisamment élevé : la proposition se trouve donc démontrée.

Lemme II. — Si Von fait la somme des lermes de même rang de deux suites ayant pour limite zéro, on forme une suite de termes ayant également pour limite zéro.

On peut affirmer que les valeurs absolues des termes de cette dernière suite deviennent et restent inférieures à un nombre quelconque £ pris aussi petit qu*on veut ; il suffit en effet que celles des termes des

deux premières deviennent et restent inférieures à — » ce qui a lieu par

ma

hypothèse à partir d'un rang suffisamment élevé, et cela démontre la proposition.

26. Théorèmes sur les limites. — Soient deux suites de nombres

ai t 1*8 f . . . , M„ j ...

ayant respectivement pour limites des nombres A et B ; je vais montrer que les suites

fll-h

ai —

ai —

an — bn,

cr,6i,

ciibi ,

dnbn.

Oi

an

dont les termes successifs sont obtenus en faisant la somme, la différence, le produit et le quotient des termes de même rang dans les deux suites données, ont des limites respectivement égales à A -f- B, A — B»

AB et — » en supposant toutefois pour la dernière que B ne soit pas nul.

Pour démontrer la première partie, je forme la différence entre A -h B et le terme général a„ -\- 6„ ; on peut l'écrire

A-i-B-(cr„-f-6„) = (A-fla)-h(B-fc„).

Le second membre est la somme de deux termes ayant pour limite

zéro ; d après le second lemme, il a également pour limite zéro, ce qui montre que la suite a^-hK a pour limite A -f- B.

Le raisonnement est le même dans le cas de la différence.

Dans le cas du produit, nous écrirons la différence AB — a„6„ sous

la forme

AB — a A = A(B — b„) -h 6„(A — a„) ;

les deux termes B — 6„ et A — a„ tendent vers zéro ; leurs produits par

A et &«, qui restent finis, tendent aussi vers zéro (lemme I) et la somme

de ces produits a pour limite zéro (lemme 11) ; la proposition est ainsi démontrée.

Dans le cas du quotient, nous écrirons la différence — — -7^ sous

la forme

A ^ A/>„ — Brz„ ^ B(A — fl„)~-A(B — ft„) B &„~ B6„ B6„

Le numérateur de la dernière fraction a, d'après ce qui précède, pour limite zéro ; comme 6„ a pour limite un nombre B non nul, sa valeur absolue devient et reste, à partir d'un certain rang, supérieure à un nombre fixe et son inverse est inférieure à un certain nombre M ; on en conclut (lemme I) que le second membre a pour limite zéro, ce qui démontre la proposition.

On énonce ordinairement ces résultats sous la forme suivante :

Théorème. — La limite d\ine somme, d'une différence , d'un produit ou d*un quotient est égale à la somme, à la différence, au produit ou au quotient des limites.

27. Ce théorème s'étend à la somme d'un nombre quelconque de termes et au produit d'un nombre quelconque de facteurs égaux ou inégaux. On arrive ainsi de proche en proche à considérer une fonction entière ou rationnelle de plusieurs lettres a, b, c, ... auxquelles on donne des valeurs successives égales aux termes de même rang de suites données ayant pour limites des nombres A, B, C, ... En appliquant le théorème précédent aux opérations successives que l'on a à effectuer, on arrive au résultat général suivant :

Théorème. — La limite d'une fonction entière ou rationnelle de

32 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

'^[// nombres variables ayant des limites données est égale à la valeur de

^, i'ette fonction pour les limites.

* Remarque. — Lorsque quelques-unes des variables entrant dans

une fonction prennent des valeurs augmentant indéfiniment, on cherche

à mettre en évidence leurs inverses, qui ont alors pour limite zéro, et

Ton peut appliquer les théorèmes précédents.

•ïïf

$ Soit par exemple à trouver la limite de la fraction

* kx^ -h 2j: -h i

jr. ' ÔJO' OJO"

l" pour X infini. En divisant les deux termes par x% on forme la fraction

^ équivalente

,r lorsque — tend vers zéro, cette fraction a poiu* limite — ; on voit que

cette valeur est égale au quotient des coefficie^nts des termes de plus baut degré dans le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée.