CHAPITRE VI

28. Définitions. — Série convergente ou divergente. — On appelle série une expression composée d'une infinité de termes successifs réunis par le signe -+- .

On dit que la série est déterminée si l'on a le moyen de calculer chaque terme dès que Ton connaît son rang ; en particulier, si Ton donne l'expression du terme de rang n en fonction de n, on dit que Ton donne le terme général de la série. - Par exemple, les séries

sont déterminées, et le terme général y est mis en évidence. Considérons une série écrite sous la forme générale

(4) Ui-l-UiH-U3-i- ■ • • H- "«H- . . . ,

et formons les sommes constituées par le premier terme, les deux premiers, . . . , les n premiers, ... :

Si =ui,

S2 =ui-+-ii2,

S„-i =rUi-hUi-h ' ' ' -h «n-i ,

S„ =M,-f-ll2-|- ••• -f- U„i H- «„ ,

VoGT. — Math. sup.

34 COMPLÉMENTS d'âLGÈBRE

Si la suite des nombres

a une limite S, on dit que la série (4) est convergente et que S est la

somme de cette série ; si la suite (5) n'a pas de limite, on dit que la

série (4) est divergente.

Par exemple, la série (1) est convergente, car la somme S„ des

n premiers termes est celle d'une progression géométrique et a pour

valeur

elle a pour limite 1, et ce nombre est la somme de la série.

La série (2) est divergente, car la somme des n premiers termes augmente indéfiniment avec n ; la série (3) est aussi divergente, car la somme des n premiers termes est égale à 0 ou à 1 suivant que n est pair ou impair, et n'a pas de limite.

Les séries convergentes sont les plus importantes, et sont du reste les seules que l'on puisse introduire dans les calculs ; elles sont la généralisation des sommes arithmétiques ou algébriques formées d'un nombre fini de termes ; nous indiquerons des règles qui permettent de décider dans beaucoup de cas si une série donnée est convergente ou divergente, et nous montrerons comment on peut calculer sa somme si elle est convergente.

29. Ppoflpesslon géométrique. — Pour chercher si une série est convergente, il faut, d'après la définition, chercher si la somme S„ des n premiers termes a une limite ; il est rare que l'on puisse exprimer S„ en fonction du rang n, et constater directement si elle a une limite et quelle est sa valeur. Le calcul n'est guère possible que dans le cas des progressions géométriques, qui sont les séries les plus simples.

Soit la progression géométrique dont le premier terme est a et la raison q,

a ^- aq -h aq^ -h • • • -haq'^-^-h • • • ^

prolongée indéfiniment ; la somme S„ des n premiers termes a pour valeur

Si q est en valeur absolue >i, S„ augmente indéfiniment avec n et la série est divergente ; si au contraire q est <; i en valeur absolue, S„ a une limite,

et la série est convergente ; sa somme est égale à S.

On ramène autant que possible •l'étude des séries à celle des progressions géométriques, comme nous le verrons plus loin ; nous commencerons par démontrer un premier théorème fondamental.

30. Théorème I. — Pour quune série soit convergentey il est nécessaire que son terme général ait pour limite zéro.

Il faut en effet que la suite (5) ait une limite déterminée ; or, les deux sommes S,»i et S„ devant tendre toutes deux vers cette limite quand n augmente, leur différence, qui n'est autre que le terme ij„ , doit tendre vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, d'après le théorème du n° 26.

Les séries (2) et (3) ne remplissent pas la condition précédente et sont divergentes ; on vérifie au contraire que la série (1), qui est convergente, a pour terme général un nombre qui tend vers zéro. Il faut remarquer toutefois que la condition que nous venons d'énoncer n'est pas suffisante et qu'il existe des séries dont le terme général tend vers zéro et qui ne sont pas convergentes.

31. Série harmonique. — L'exemple le plus connu de ce fait est celui de la série

que l'on appelle série harmonique ; son terme général a pour limite zéro ; nous allons démontrer qu'elle est cependant divergente.

Considérons en effet des groupes successifs de termes, en nous arrêtant aux dénominateurs qui sont des puissances de 2 ; en remarquant que chaque terme d'un groupe est supérieur au dernier, nous pourrons écrire