APPLICATIONS
889. Transformation de coordonnées. — Par analogie avec ce que nous avons dit au n^ 366, nous énoncerons le problème de la transformation de coordonnées de la façon suivante : Étant donnés deux systèmes d^ axes Oxyz, 0'x'y'z\ exprimer les coordonnées x, y, z d'un point quelconque dans le premier système au moyen des coordonnées a/, y', z' du même point dans le second. Nous examinerons successivement plusieurs cas.
1*' Cas. — Les nouveaux axes sont parallèles aux premiers et dirigés
dans le même sens.
Ces axes sont complètement définis dès que Ton donne les coordonnées a, b, c de la nouvelle origine 0' dans le système Oxyz; un raisonnement identique à celui que nous avons fait au n** 366 nous montre que les formules de transformation sont
x = a-hx', y = b-hy',
z = c -h z\ Fig. 116.
2* Cas. — Les nouveaux axes ont la même origine que les premiers.
Nous supposons les deux systèmes Oxyz , Ox'y'z' rectangulaires ; nous désignons par a , ^ , y les cosinus des angles que fait Ox' respectivement avec Ox, Oy, Oz; de même, par a', p', y' les cosinus des angles que fait Oy', et par a", p", y" les cosinus des angles que fait Oz' avec Ox, Oy, Oz.
Si M est un point quelconque de l'espace {fig, 116), traçons le contour OP'Q'M de ses coordonnées dans le second système et projetons ce contour, ainsi que sa résultante OM , sur chacun des axes Ox, Oijr, Oz ; le théorème des projections nous donne
pr. OM = pr. OF + pr. P'Q' -h pr. Q'M ;
si nous projetons sur Taxe des x, nous avons
x = x' cos (Ox, Ox') -h y' cos (Ox, Oy') -+- z' cos (Oz, Ox') ;
nous pouvons projeter de même sur les autres axes, et nous avons, en introduisant les valeurs données des cosinus, les formules de transformation
x = (xx' ■+■ d'y' H- (tz',
3/==px'^-py-+-pv,
3« Cas. — Cas général . — Etant donnés les deux systèmes Oxyz ^ O'x'y'z' y prenons un système d'axes intermédiaire O'xiyiZj ayant même origine que le second et mêmes directions d'axes que le premier; nous avons alors à effectuer successivement les transformations du premier et du deuxième cas. Les formules qui en résultent sont, comme les précédentes, toutes du premier degré par rapport aux coordonnées anciennes et nouvelles ; nous en concluons que le degré d'une équation algébrique ne change pas par une transformation de coordonnées; l'ordre d'une surface ou d'une courbe algébrique reste donc le même lorsqu'on passe d'un système d'axes à un autre.
390. Trièdres de même sens. — Considérons dans l'espace trois axes de coordonnées formant un trièdre trirectangle Oxyz, et supposons ces axes énoncés dans l'ordre Ox, Oy, Oz.
Pour un observateur placé le long de Oz, les pieds en 0 et la
TRANSFORMATION DE COORDONNÉES DANS l'eSPACE S27
tête en z, il existe un certain sens dans lequel il faut faire tourner une demi-droite d'abord confondue avec Ox pour l'amener sur Oy en
décrivant Tangle -^; avec la disposition habituelle des axes, c'est le
su
sens de gauche à droite. Remarquons que le sens de Oy vers Oz pour un observateur placé sur Ox, et celui de Oz vers Ox pour un observateur placé sur Oy sont les mêmes que le premier ; ce sens caractérise complètement la disposition des axes de coordonnées.
Soit Ox'y'z' un autre trièdre trirectangle de coordonnées ayant même origine que le premier, les axes étant énoncés dans l'ordre Ox! , Oy', Oz'; on dit qu'il a mêmç sens que le premier si pour un observateur placé sur Oz', le sens de Ox' vers Oy' est le même que celui qui a été défini pour le premier trièdre; dans le cas contraire, les deux trièdres sont dits de sens différents. Les conclusions seraient les mêmes si Ton considérait un des deux autres axes Ox', Oy' pour établir la comparaison.
Désignons, comme au n° précédent, par a, p, y ^^^ cosinus des angles de Ox' avec Ox, Oy, Oz, et par a', p', y' ceux des angles de Oy' avec les mêmes axes ; ces cosinus satisfont aux trois conditions
a^ -h p* -f- Y* = i, .a'2 ^ p^y2 ^ 1^ aa' -h p!^' -f- yy' = 0,
dont la dernière exprime que Ox' et Oy' sont rectangulaires.
Soient a", p", y" les cosinus des angles de Os' avec Ox,Oy, Oz; nous allons déterminer ces quantités au moyen des précédentes ; elles doivent satisfaire aux équations suivantes,
aa^ -f- pp" + yy' = 0, a'a" H- P'P' -f- y'ï" = û, " ^^ -h P'" -+- y'* = * ^
les deux premières exprimant que Oz' est perpendiculaire à Ox' et à Oy'.
Des deux premières relations précédentes, nous tirons
Pï' — yP' y*' — »y' *P' — P*'
nous allons déterminer la valeur commune de ces rapports ; si nous la désignons par p et si nous remplaçons a", p", y" par leurs valeurs dans la troisième équation, nous avons
P* [(Py' — yPT -^ (y*' — ^y' )' -+- (»P' — P»')'] = * •
If
La parenthèse est égale à
(a* -h p* -f- f){%'^ -f- P -f- y*) — (»*' -h PP' 4- yy')*.
et se réduit à Tunité ; nous en concluons que p* est égal à 1 , et que p est égal à -f- i ou à — 1 .
Nous allons voir que si les trièdres sont de même sens, p est égal à -h i , sinon qu'il est égal à — 1 . Supposons en effet que Ton déplace d'une manière continue le trièdre Ox'y'z' jusqu'à ce que Ox' vienne coïncider avec Ox et Oy' avec Oy ; alors Os' viendra s'appliquer sur Oz ou sur la direction opposée suivant que les trièdres sont de même sens ou de sens différents; les rapports (1), dont les termes varient d'une manière continue, restent constamment égaux à -h 1 ou à — 1 . Lorsque Ox' et Oy' viennent coïncider avec Ox et Oy, a et p' deviennent égaux à -h 1 , p et a' égaux à zéro ; si Os' coïncide avec Oz, y* est égal à -h 1 , et le dernier des rapports (1) a pour valeur -l-i ; si au contraire Oz' coïncide avec la direction opposée à Oz, y' devient égal à — 1 et le dernier des rapports est égal à — 1 ; la proposition se trouve ainsi démontrée.
On a finalement pour déterminer les cosinus ol\ p', y* les relations
«' = p(Pr' - yP'). r = p(r«'-«ï'). Y'-f(«P'-P«').
p étant égal à -h 1 si les trièdres sont de même sens, et égal à — I s'ils sont de sens différents. On aurait des relations analogues en effectuant sur les accents une permutation circulaire quelconque. Remarquons que le déterminant
a pour valeur
Ah' - yP') + ^'{■(^' - «y') + y"(«P' - P«') ;
(fj
Y * qui a pour
il est égal au produit de p par la quantité a"* -f- p
valeur Tunité ; le déterminant précédent est donc égal à -h 1 ou à
— i suivant que les trièdres sont de même sens ou de sens différents.
391. Moment d'un segment. — Considérons dans l'espace trois axes
TRANSFORMATION DE COORDONNÉES DANS l'eSPACE
Fig. in.
rectangulaires Oxyz passant par un point 0 {fig. 117); soit AB un segment dont les projections sur les axes sont X , Y, Z et dont l'origine A a pour coordonnées {x, y, z) ; on appelle moment du segment AB par rapport au point 0 un segment OG mené par le point 0 perpendiculairement au plan OAB ; sa grandeur est égale au produit de la longueur du segment AB par celle du segment OP
abaissée de l'origine perpendiculairement au premier ; son sens est choisi de telle sorte que le trièdre des trois directions OP, AB et OG ait même sens que le trièdre des coordonnées; pour un observateur dirigé suivant OG, le sens dans lequel AB entraîne le bras de levier OP est le même que le sens de Ox vers Oy pour un observateur dirigé suivant Oz .
On appelle composantes du
moment suivant les trois axes les
projections sur ces axes du segment
OG ; nous allons évaluer analytiquement ces composantes et montrer
qu'elles ont pour valeurs les trois quantités L , M , N définies par les
égalités
L = yZ — zY, M = sX — xZ, N = xY — i/X.
Désignons en effet par p le segment OP et par a, p, y les cosinus des angles de sa direction avec les trois axes ; soient p la valeur du segment AB, et a', p', y' les cosinus des angles que fait avec les axes la direction suivant laquelle il est compté. Pour définir OG , nous ferons passer par le point 0 une droite dirigée formant avec les directions définies par a, p, y et par a', p', y' "'^ trièdre de même sens que le trièdre de coordonnées, et nous prendrons sur cette droite un segment dont la valeur algébrique est égale à pp.
D'après le numéro précédent, les cosinus a", p% y" des angles de la direction ainsi définie avec les trois axes sont égaux à
«" = Py' - ïP'. P" = Y«' - «/. ï" = «P' - P«' ;
et les projections du segment OG sur les axes sont égales à />pa% VocT. — Math. sup. 34
p^^% /'PTî nous allons montrer que les valeurs de L, M, N leur sont identiques.
Nous avons d'abord
