X - pa', Y = pP', Z = pT
de plus, en projetant sur les axes le contour OPA et sa résultante OA, nous trouvons
x=/>a+{PA)a', y=/>p+{PA)p', « =jBy+ (PA)y';
par suite, en remplaçant X, Y, Z et x, y, z par ces valeurs, nous avons
L=/>p(pr'-rP'). M=/»p(y«'-aY'). «=/>?(«?'-?«')•
OU bien
L=/>pa", M=/>pp% N=/)pY%
ce qui démontre la proposition.
392. Distance d'un point ù un plan. — Soit d la longueur de la
perpendiculaire MqP (^gr. 118) abaissée d'un point Mo, de coordonnées iCo, t/o » ^o i sur un plan représenté par Téquation
A.r-f-B^ 4-Cs-+-D = 0.
Comme au n** 87, nous remarquerons que MqP est la
valeur absolue de la projection
oc
sur une perpendiculaire au plan du segment MqM joignant Mo à un point quelconque du plan ; d'après ce que nous avons dit au 11° 106, les coefficients directeurs de la perpendiculaire
sont A, B, C, et les angles qu'elle fait avec les axes sont fournis par
les relations
Fig. 118.
cos a =
ii=v/A2 -i-B'^-f-C--^ cos Y =
cosô
TRANSFORMATION DE COODONNÉES DANS l'eSPACE
d'autre part, les projections sur les axes du segment MqM ont pour valeurs x — Xq, y — yo» ^ — ^o', nous avons par suite, en appliquant la formule (13) du n** 73,
d = Val. abs. de (^-^o)A + (y-.Vo)B4- (z-Zo)C ,
ih v/A2 -4- B2 -+- C*
Mais kx-\-hy-h Cz est égal à — D ; en remplaçant cette quantité par sa valeur, nous trouvons
, , Axo + Byo -4- Czo + B a = dz 7 ;
nous devons choisir devant le second membre un signe tel que la valeur obtenue pour d soit positive.
393. Distance d'un point à une droite. — Soit MiP la perpendiculaire abaissée d'un point Mi , de coordonnées a:i,i/i,Zi, sur une droite passant par un point Mo [fig- 119) de coordonnées Xa^ î/o, zo, et représentée paroles équations
^ — -^0 ^ .y— yp ^
Fig. 119.
Pour déterminer la longueur
de cette perpendiculaire, nous
joindrons Mo et M, , et nous calculerons dans le triangle rectangle
MoM,P rhypoténuse et le côté MqP ; nous en déduirons l'autre côté
M,P ; MoMi a pour valeur
MoM, = \/[x, - x,Y 4- (yo — yi)' + (-0 — -i)' ;
MoP est la projection du segment MqM, sur la droite donnée ; en remarquant que les cosinus des angles de cette droite avec les axes sont
COSa =
\ja
COS fi =
