Formules fondamentales de la trigonométrie sphérique

Un triangle sphérique ABC comprend six éléments, les trois angles, que Ton désigne par A, B, C, et les trois côtés respectivement opposés à ces angles, que Ton désigne par a , b, c. On démontre en géométrie que la connaissance de trois de ces éléments suffît pour construire le triangle, et par conséquent pour déterminer les trois autres éléments ; il en résulte que ceux-ci sont liés aux trois premiers par des relations ; ce sont ces relations que nous proposons d'établir.

Toute formule de trigonométrie sphérique, dans le cas d'un triangle quelconque, doit contenir au moins quatre éléments ; les relations les

plus simples sont celles qui en contiennent précisément quatre ; celles qui sont fondamentales et d'où se déduisent les autres peuvent être établies en appliquant les formules de transformation de coordonnées.

Soit, sur une sphère de rayon 1, ABC un triangle sphérique {fiff. 120) ; formons un premier système d'axes rectangulaires pour lequel l'origine est au centre de la sphère, l'axe Kig. 120. des z passe par B , le plan des

xz est confondu avec le plan OAB, et le plan des yz est perpendiculaire au précédent; l'axe des x

TRANSFORMATION DE COORDONNÉES DANS l'eSPACE 533

est choisi tel que le sens de Os vers Ox soit celui de OB vers OA , et Taxe des y tel que le sens de Ox vers 0^ soit celui de BA vers BC.

Formons un deuxième système d'axes Ox'y'z' ayant même origine et même sens que le premier, pour lequel Taxe Oy' est identique à Oy, et Taxe Oz' passe cette fois par A ; le système des axes Ox'z' se déduit du système Oxz par une rotation d'angle égal à c dans le sens de Oz vers Ox.

Nous établirons les formules de transformation d'un système de coordonnées dans l'autre, et nous les appliquerons aux coordonnées du point C; nous remarquerons que l'on a d'abord y' =y, et qu'il suffit d'appliquer aux deux coordonnées z et x les formules (3) du n° 366 où X et y sont remplacés par z et x, et a par c; nous aurons ainsi les formules

(1) { z=z'cosc — x'sinc,

x = z' sïn c-\- x' cos c .

Les coordonnées du point C s'expriment au moyen des éléments du triangle par les formules du n° 109 relatives aux coordonnées polaires dans l'espace ; dans le premier système, elles sont obtenues en faisant p ^ 1 , 0 = «, 'I -- B, et dans le second, en faisant p = i , 6 = 6, <]/ = TT — A ; nous trouvons ainsi

x=:sinacosB, î/ — sinasinB, s = cos a,

x' =^ — sin b cos A , y' = sin 6 sin A , z' =^ cos b .

En introduisant ces valeurs dans les formules (1), nous avons

sin a sin B = sin b sin A ,

(2) ^ cos a — cos b cos c + sin b sin c cos A ,

sin a cos B = cos 6 sin c — sin b cos c cos A .

La première de ces formules indiqiic que le rapport entre le sinus d'un côté et le sinus de l'angle opposé a une valeur constante ; la deuxième permet d'évaluer un côté connaissant les deux autres et l'angle qu'ils comprennent. La troisième contient cinq éléments ; nous la remplacerons par une autre renfermant quatre éléments en substituant à sin a sa valeur tirée de la première et divisant les deux

membres par sin b . Nous écrirons ainsi les formules fondamentales suivantes :

sin a sin b sine

sin A sin B sin C

^ ^ » cos a = cos b cos c -h sin 6 sin c cos A ,

sin A cotg B = sin c cotg b — cos c cos A .

Nous obtiendrons d'autres formules en considérant le triangle polaire du triangle donné ; il a respectivement pour côtés et pour angles les suppléments des angles et des côtés de ce triangle ; de toute relation entre a, b, c, A , B , C découle une autre relation que Ton obtient en remplaçant ces éléments par w — A, it — B, -k — C, tu — a, Tz — b, 7t — C. La première des équations (3) ne change pas^ la deuxième devient

(4) cos A = — cos B cos C -4- sin B sin C cos a,

et la troisième donne lieu à une relation qui ne diffère de celle-là que par le changement de a et A en c et C. Les formules (3) et (4) et toutes celles qui s'en déduisent par permutation quelconque des éléments sont les seules formules à quatre éléments, et sont les relations nécessaires et suffisantes d'où se déduisent toutes les autres.

Dans le cas où le triangle ABC est rectangle en A, celles des formules générales qui renferment Tangle A se transforment en des formules ne contenant plus que trois éléments; entre les trois côtés existe la relation

cos a = cos b cos c ;

entre deux côtés et un angle existent les relations

sin 6 = sin a sin B, tg6 = tg acosC, tg 6 == sin c tg B ,

et celles qu'on en déduit par permutation de B et C; enfin, entre un côté et deux angles, existent les relations

cos a = cotg B cotg C , cos B = cos 6 sin C,

et celle qu'on déduit de la dernière par permutation de B et C.