Al

elles ne sont réelles que si h est compris entre — c et -4- c .

On voit que la surface admet Torigine comme centre, les plans et les axes de coordonnées comme plans et axes de symétrie ; les extrémités A, A', B, 6', G, C des axes sont appelés les sommets de la surface.

Lorsque deux des quantités a^byC sont égales, Tellipsoîde est de révolution ; si Ton a par exemple a = b, la surface est de révolution autour de Taxe Oz ; lorsque Ton a a=^b = c, la surface devient une sphère. Du reste, les points de l'ellipsoïde peuvent se déduire des points d'une sphère concentrique de rayon a en réduisant l'ordonnée et la cote des points de cette sphère, la première dans le rapport de 6 à a et la seconde dans le rapport de c k a,

396. Sections planes. Sections circulaires. — Nous allons démontrer en général que les sections d'une même surface du second ordre par des plans parallèles sont des courbes homothétiques. Nous pouvons sans inconvénient supposer que le plan des xy est choisi parallèle aux plans sécants; soit alors

(*) f{^>y,^)= Ax2 -f- A'î/2 -h A'z« -h 2Byz -4- 2B'zx -f- 2B'xy

2CX-4- 2Cy -h 2C'z -4- D = 0

Téquation de la surface dans le système d'axes considéré.

La section de la surface par un plan z = h est une conique représentée dans son plan par l'équation obtenue en remplaçant z par h ; en l'ordonnant, elle s'écrit

(2) Ax2 H- 2B"xy -h X'y^ -t- 2(B'h + C)x -h 2[Bh -+- C)y

Cette équation représente aussi la projection de la section sur le plan des xy ; lorsque h varie, les termes du second degré ne changent pas; par suite, les coniques projections sur le plan des xy des sections par des plans parallèles sont des courbes homothétiques (n° 374) ; nous

SURFACES DV SECOND ORDRE

vérifierions facilement que deux quelconques des courbes de section dans l'espace sont elles-mêmes homothétiques. Nous pouvons ajouter que ces coniques ont mêmes directions asymptotiques, car on obtient ces directions (n* 233) en annulant Tensemble des termes du second degré de Téquation et ces termes sont les mêmes quel que soit h.

Supposons que Ton coupe par un même plan z = h, toutes les surfaces représentées par Téquation (1) dans laquelle on fait varier le terme constant D ; le seul terme qui varie dans Téquation (2) est le terme indépendant des variables ; nous en concluons que les courbes représentées par cette équation sont non seulement homothétiques, mais encore concentriques, car les équations qui donnent le centre (n° 376) ne dépendent pas du terme constant. En réunissant tous les résultats que nous venons d'obtenir, nous pouvons énoncer ce théorème : Si les équations de plusieurs surfaces du second ordre ne diffèrent que par le ternie constant^ les sections de ces surfaces par un même plan sont des coniques homothétiques et concentriques ; leurs sections par des plans parallèles sont des coniques homothétiques deux à deux; toutes ces coniques sont du même genre et ont mêmes directions asymptotiques.

Nous allons appliquer ce qui précède aux sections planes de Tellipsoïde ; ces sections sont des coniques du genre ellipse, car elles n'ont aucun point à Tinfini ; nous allons montrer que parmi ces coniques se trouvent des cercles. Supposons que OB soit le demi-axe moyen

de la surface et soit égal à 6 (fiff. 122) ; dans le plan des xz, décrivons de l'origine comme centre une circonférence dont le rayon est égal à 6 (nous n'avons représenté que la portion de surface située au-dessus du plan des xy et en avant du plan des xz); cette circonférence coupe l'ellipse ACA' située dans le plan des xz aux points D et E et aux points diamétralement opposés.

Le plan passant par OB et OD coupe la surface suivant une

Fig. 122.

iy*

ellipse dont les demi-axes sont respectivement OB et OD et sont égaux entre eux ; cette ellipse est donc une circonférence de rayon h ; la section par le plan OBE est aussi une circonférence. D'après ce que nous avons dit précédemment, les deux plans OBD et OBE, ainsi que tous les plans qui leur sont parallèles, coupent Tellipsoîde sui- S vant des circonférences; on les appelle plans de section circulaire ;

nous ajouterons sans le démontrer que ce sont les seuls plans jouissant de cette propriété.