Cône. — La surface représentée par Téquation homogène

est un cône ayant pour sommet l'origine (n° 107) ; la section de cette surface par un plan parallèle au plan des xy est une ellipse qu'il est facile de construire, et que Ton peut prendre comme courbe directrice . sur laquelle s'appuient les génératrices de la surface conique.

La section du cône par un plan quelconque est une conique dont la nature varie avec la position du plan; d'après le théorème du n® précédent, le genre de cette conique et ses directions asymptotiques sont les mêmes que pour la section du cône par le plan passant par le sommet de cette surface et parallèle au plan sécant ; suivant que ce plan détermine dans le cône deux génératrices réelles, ou lui est tangent le long d'une génératrice, ou ne le coupe pas, les directions asymptotiques sont réelles, confondues ou imaginaires ; nous avons donc ce résultat :

Les directions asymptotiques d'une section plane d'un cône sont les directions des génératrices déterminées dans ce cône par un plan passant par le sommet et parallèle au plan sécant; si ce plan coupe le cône suivant deux génératrices, la section est du genre hyperbole ; s'il lui est tangent, la section est du genre parabole, et s*il ne le coupe pas, la section est du genre ellipse.

Nous verrons plus loin que le cône a deux directions de plans de section circulaire, et nous les déterminerons.

398. Hyperboloîdes. — On appelle hyperboloîde à une nappe la surface représentée par l'équation

SURFACES DU SECOND ORDRE

sa section par le plan des xy est une ellipse dont les axes sont dirigés suivant les axes de coordonnées et ont pour longueurs 2a et 26 ; ses sections par les deux autres plans de coordonnées sont des hyperboles dont Taxe non transverse est dirigé suivant Oz . La section par un plan parallèle au plan des xy est une ellipse dont les axes vont en augmentant avec la cote du plan.

On appelle hyperboloïde à deux nappes la surface représentée par Téquation

sa section par le plan des xy est une ellipse imaginaire ; ses sections parles autres plans de coordonnées sont des hyperboles ayant pour axe transverse Taxe Oz, et conjuguées des sections de Thyperboloîde à une nappe par les mêmes plans.

Les asymptotes de ces hyperboles sont des génératrices du cône représenté par Téquation

flî ^ 62 c« ~ " '

on rappelle cône asymptote des deux hyperboloïdes précédents ; la

figure 123 indique la position respective des trois surfaces ; Thyperboloïde à une nappe entoure le cône et Thyperboloïde à deux nappes est formé de deux parties distinctes situées dans chacune des nappes du cône; nous avons supposé ces surfaces limitées supérieurement par un même plan perpendiculaire à Oz.

Les sections des trois surfaces par un même plan sont des coniques homothétiques et de plus concentriques, d'après le théorème /' \ du n° 396 ; en nous reportant à ce

Fig. 123. Q"6 ïious avons dit pour le cône,

nous voyons que Ton obtient la

nature des sections en menant par l'origine un plan parallèle au plan

If'.

sécant; suivant qu'il coupe le cône, lui est tangent on ne le coupe pas, les sections sont du genre hyperbole» du genre parabole ou du genre ellipse.

Il existe sur les trois surfaces des sections circulaires ; il est facile de

les déterminer sur l'hyperboloïde à une nappe. Supposons par exemple que Ton ait b<Cci, et traçons dans le plan des yz le cercle de rayon a [fîg, 124); il coupe Thyperbole de section de la surface par ce plan aux points D et E et aux points diamétralement opposés (nous n'indiquons dans la figure que la portion de la surface située en avant du plan des xz et à droite du plan des yz) . Les plans AOD et A.OE coupent Thyperboloïde suivant des ellipses dont les demi-axes sont respectivement OA et OD ou OE et sont égaux entre eux; par conséquent, ces sections sont des circonférences.

Tous les plans parallèles aux plans précédents sont des plans de section circulaire pour Thyperboloïde à une nappe, ainsi que pour le cône et pour Thyperboloïde à deux nappes ; lorsqu'on veut déterminer les sections circulaires de ces deux dernières surfaces, il y a tout avantage à effectuer la construction précédente sur l'hyperboloïde à une nappe qui leur correspond ; nous ajouterons sans le démontrer que les plans précédents sont les seuls plans de section circulaire de ces surfaces.

399. Génératrices rectilignes de rhyperboloïde ta une nappe. -—

L'hyperboloïde à une nappe possède la propriété remarquable d'avoir une infinité de droites situées tout entières sur sa surface ; considérons en effet les équations

Fig. 124.

— = — siri 9 H- cos CD a c ^ ^

— cos 9 -h sin cp ;

lorsqu'on attribue à 9 une valeur déterminée, elles représentent une

SURFACES DU SECOND ORDRE

droite ; Tensemble des droites ainsi obtenues, lorsque 9 varie, constitue une surface, et Ton a l'équation de cette surface en éliminant cp entre les deux équation > (3) ; or, si Ton fait la somme des carrés des deux membres, on obtient la relation

qui n'est autre que Téquation de rh>T)erboloïde aune nappe ; les équations (3) représentent donc, lorsqu'on fait varier le paramètre ç, une infinité de droites situées sur cette surface. Nous pouvons ajouter que (f est le paramètre angulaire (n° 92) du point de rencontre de la droite (3) avec l'ellipse du plan des xy. Un raisonnement analogue montre que les équations

= sin (p -h cos <p

^ = — cos cp' -H sin ©'

représentent, quelle que soit la valeur de cp', une droite également située sur le même hyperboloïde ; les droites ainsi obtenues, lorsque (p'

varie, ne se confondent pas avec les premières, mais avec leurs symétriques par rapport au plan des xy, car il suffît de changer z en — z pour passer du système (3) au système (4).

Il existe ainsi deux systèmes distincts de génératrices rectilignes de l'hyperboloïde à une nappe ; nous énoncerons à ce propos les propriétés suivantes, faciles à démontrer : Par un point de la surface passent deux génératrices, une de chaque système ; ces deux génératrices sont situées dans le plan tangent au point considéré (n° 261) et déterminent ce plan ; une droite d'un système ne coupe jamais celles du même système, mais rencontre toutes celles de l'autre. La figure 125 rend compte de la position des génératrices sur la surface et donne une

Fig. 125.

idée de la représentation de Thyperboloîde à une nappe au moyen de fils ; Fun des systèmes est figuré en traits pleins, et l'autre en traits interrompus.

400. Paraboloïde elliptique. — Nous appelons paraboloïde elliptique la surface représentée par Téquation

p et q étant deux nombres positifs. Les sections de cette surface par les plans des xy et des xz ont pour équations

z^ — 2qx = 0\

ce sont des paraboles ayant pour axe Taxe des x, pour sommet Torigine et dirigées dans le même sens ; la section par un plan perpendiculaire à l'axe des x, d'abscisse positive a, est une ellipse représentée dans son plan par Téquation

2ap 2aq

la surface n'a aucun point dont Tabscissc soit négative ; elle s'étend

indéfiniment du côté des x positifs; elle a comme sommet l'origine, comme axe et plans de symétrie l'axe Ox et les plans des xy et des xz ; nous avons représenté dans la figure 126 une portion de la surface limitée à une section perpendiculaire à Ox.

La surface est coupée par un plan parallèle à Ox suivant une parabole et par tout autre plan suivant une ellipse ; en effet, dans

le premier cas, l'équation d'un plan sécant peut être écrite sous la

forme

z = my-h/i.

Fig. 126.

SURFACES DU SECOND ORDRE

et en portant cette valeur de z dans Téquation (5), on a

[my H- /i)'

Cette équation, qui est celle de la projection de la section sur le plan des xy, représente une parabole ; la section dans l'espace est donc une parabole.

Dans le second cas, on peut écrire Téquation du plan sécant sous

la forme

x= ly -\- mz H- n ;

en remplaçant x par cette valeur dans Téquation (5), on a

H 2(ly-hmz-hn) = 0,

Cette équation, qui est celle de la projection de la section sur le plan des yz, représente une ellipse ; la section dans l'espace est donc du genre ellipse. Remarquons que les termes du second degré de Téquation (6) sont les mêmes quel que soit le plan sécant; nous en concluons que les projections sur le plan des yz de toutes les sections de la surface sont des ellipses homothétiques ; leurs axes sont dirigés parallèlement à Oy et Oz et sont proportionnels à ^p et \/q .

Nous allons déduire de cette remarque la détermination des plans

de section circulaire du paraboloïde; supposons, pour fixer les idées, que Ton ait p>q\ construisons dans le plan des xz [ficf. 127) un triangle rectangle OAB dont le côté OB est égal à \/q et dont l'hypoténuse OA est égale à v^ ; le plan passant par Oy et par OA coupe la surface suivant une circonférence ; en effet, Tun des axes de la section est OC et se projette sur le plan des yz suivant OD ; l'autre axe est perpendiculaire à OC en son milieu et est parallèle à Oy ; il se projette donc sur le plan des yz en vraie grandeur ; comme les axes de la projection sont proportionnels à y//) et

Fig. 127.

\fq^ c'est-à-dire à OA et OB ou à OC et OD, ceux de laconique de Fespace sont tous deux égaux à OC, et cette conique est une circonférence.

Le plan symétrique du plan précédent, et tous ceux qui leur sont parallèles, sont des plans de section circulaire du paraboloïde elliptique ; nous ajouterons sans le démontrer que ce sont les seuls coupant la surface suivant un cercle.

401. Paraboloïde hyperbolique. — Nous appelons paraboloïde hyperbolique la surface représentée par Téquation

oix p et q sont positifs. Les sections de cette surface par les plans des xy et des xz ont pour équations

z = 0, î/2 — 2px = 0,

y = 0, z^-h2qx = 0.

Ce sont deux paraboles ayant pour sommet Torigine, pour axe Taxe des x, mais dirigées dans des sens opposés de part et d'autre du plan des yz.

Un plan parallèle à ce dernier, d'abscisse x = a, coupe la surface suivant une hyperbole dont l'équation dans son plan est

si a est positif, son axe transverse est situé dans le plan des xy ; si a est négatif, son axe transverse est dans le plan des xz ; enfin, si a est nul, c'est-à-dire si le plan se confond avec le plan des yz, la section se réduit à un système de deux droites, dont les équations séparées sont

sTp s/q ^ sTp sJq

Ces équations sont du reste les mêmes que celles des asymptotes des hyperboles déterminées par des plans dont l'abscisse a n'est pas nulle ; dans l'espace, les équations (8) représentent deux plans passant

SURFACES DU SECOND ORDRE

par Taxe Ox, et appelés plans directeurs du paraboloïde. Les asymptotes de toute section par un plan perpendiculaire à Ox sont les droites d'intersection des plans directeurs et du plan sécant.

Gomme dans le cas du paraboloïde elliptique, toute section par un plan parallèle à Ox est une parabole ; toute autre section est une hyperbole, car sa projection sur le plan des yz serait représentée par Téquation (6) où Ton aurait remplacé' q par — q\ les directions asymptotiques de cette projection sont les droites (8); nous concluons de là que les directions asymptotiques d'une section quelconque de la surface sont parallèles aux droites d'intersection du plan sécant et des plans directeurs.

La figure 128 rend compte de la forme de la surface ; nous avons

supposé le paraboloïde limité par deux plans parallèles au plan des xy et symétriques par rapport à ce plan, et par un plan perpendiculaire à Ox. Lorsqu'on regarde cette figure en plaçant Ox verticalement, elle semble représenter une selle de cheval.

402. Génératrices rectilignes du paraboloïde hyperbolique. — La surface n'a pas de section circulaire ; par contre, elle partage avec l'hyperboloïde à une nappe la propriété de

Fig. 128.

posséder des génératrices reclilignes. Considérons en effet les équations

VP Vq

pour une valeur donnée du paramètre, elles représentent une droite. VoGT. — Math. sup. 35

et le lieu de cette droite, lorsque X varie, est le paraboloîde h}7)erbolique représenté par l'équation (7], car cette dernière équation résulte de Télimination de X entre les deux précédentes. Les équations

représentent, lorsque a! varie, des droites formant un deuxième système de génératrices du même paraboloîde.

La deuxième des équations '9) représente un plan paraUèle à Tun des plans directeurs de la surface ; toutes les génératrices du premier système sont donc parallèles à ce plan ; de la même manière, toutes celles du deuxième système sont parallèles à Tautre plan directeur.

On peut vérifier, comme dans le cas de Fliyperboloîde, que partout point de la surface passent deux génératrices, une de chaque système ; ces deux génératrices déterminent le plan tangent au point considéré; une droite d'un système ne coupe aucune droite du même système, mais rencontre toutes celles de l'autre .

On se rend compte de la position des génératrices et de la représentation de la surface par des fils de la façon suivante, que nous indiquons sans démonstration :

soit ABCD un quadrilatère gauche {fig. 129); partageons deux côtés opposés tels que AB et DC chacun en un même nombre de parties égales et joignons les points de division correspondants; faisons de même avec les deux autres côtés; nous obtiendrons de cette façon des gônêratricos de chacun des systèmes d'un paraboloîde hyperbolique; un seul système est représenté dans la figure 129.

Fig. \'2{).

SURFACES DU SECOND ORDRE 547

403. Équation du paraboloïde hyperbolique rapporté à ses plans directeurs. — De la même manière que Féquation d'une hyperbole prend une forme simple quand on la rapporte à ses asymptotes (n** 381), Téquation d'un paraboloïde se simplifie quand on prend comme plans de coordonnées à la place des plans des xy et des xz les deux plans directeurs de la surface ; supposons que Ton conserve Torigine au sommet du paraboloïde et Taxe des x suivant Taxe de la surface ; puis qu'on prenne comme axes des y' et des z' les traces des plans directeurs sur le plan des yz ; nous devrons effectuer une transformation de coordonnées dans laquelle y Qi z s'exprimeront au moyen de y' et z' de la même manière que x et î/ au moyen de x! et y' dans le n** 381 que nous avons rappelé ; nous aurons ainsi

l'équation de la surface deviendra alors (11) y'z' = B:tlx.

Lorsque les plans directeurs sont rectangulaires, les nouveaux axes forment un trièdre trirectangle ; on dit que le paraboloïde est équilatère. * L'équation (11) met en évidence d'une manière simple les génératrices rectilignes ; les deux systèmes sont représentés par les équa-

tions suivantes, où a représente ^y »

î/' = X, 'kz' = ax,

-W, X'y'=^ax.

404. Surface générale du second degré. — L'équation générale du second degré à trois variables s'écrit

(12) Ax^ + A'y^ -h A'z2 -f 2Byz -h 2B'zx + 2B"xî/

-h 2Cx-\-2Cy -h 2Cz -I- D = 0 ;

la nature de la surface représentée par cette équation est intimement liée à celle du cône représenté par l'équation homogène obtenue en annulant l'ensemble des termes du second degré,

(13) Ax« -+- k'y^ H- k'z^ -+- 2Bî/z -h 2B'zx 4- 2Wxy = 0,

et que Ton appelle cône des directions asymptotiques de la surface ; on se rend compte facilement de la nature de ce cône en cherchant celle de la conique suivant laquelle il est coupé par un plan parallèle à un plan de coordonnées, par exemple par le plan z = h.

Si le cône est imaginaire, c>st-à-dire n'a d'autre point réel que son sommet, on dit que l'équation (12) représente une surface du genre ellipsoïde ; elle peut être une sphère, un ellipsoïde réel ou un ellipsoïde imaginaire.

Si le cône est réel et non décomposable, on dit que Téquation (12) représente une surface du genre hyperboloïde ; elle peut être un hyperboloïde à une nappe, ou à deux nappes, ou un cône ordinaire.

Si le cône est décomposable en un système de deux plans, ce que Ton reconnaît à ce que sa section par le plan z = h est décomposable en deux droites, la surface est du genre paraboloïde ou du genre cylindre; elle peut être un paraboloïde elliptique, un paraboloïde hj-perbolique, un cylindre elliptique, un cylindre hyperbolique ou un ensemble de deux plans.

Si le cône est un système de deux plans confondus, la surface est du genre cylindre parabolique, ou se compose de plans parallèles.

Remarque. — La section par le plan z = h du cône représenté par Téquation (\^) a pour équation

Ax2 H- 2B''xy + A'.y* -h 2b' hx -h 2Bhy H- A'h^ = 0 ;

pour que cette conique soit réductible à un système de deux droites, il faut et il suffît (n" 372) que le déterminant

A H" B7i B" A' M Wh M A'A^

soit nul; en divisant les éléments de la dernière ligne, puis ceux de la dernière colonne par h, on voit (|ue le déterminant précédent est égal au produit de A^ qui est différent de zéro, par le déterminant

SURFACES DU SECOND ORDRE 549

On voit donc que si A n'est pas nul, le cône des directions asymptotiques est indécomposable, et la surface est du genre ellipsoïde ou hyperboloïde ; si au contraire A est nul, le cône est décomposable, et la surface est du genre paraboloïde ou cylindre, ou bien est un système de deux plans.

Par des transformations de coordonnées analogues à celles que nous avons employées dans les numéros 367 et suivants, et dans le détail desquelles nous n'entrerons pas, on peut choisir des axes tels qu'une surface du second ordre rapportée à ces axes soit représentée par une équation simple de l'une des formes que nous avons étudiées dans les derniers numéros, ou bien par une équation de l'une des formes suivantes :

Ax«-|-Ay-f-H = 0,

A'j/*-h2Dx = 0,

Aa;«-|-H = 0;

les deux premières représentent des cylindres à génératrices parallèles à Oz et à base elliptique, hyperbolique ou parabolique, et la dernière un système de deux plans.