COMPLÉMENTS D* ALGÈBRE

nous voyons de cette façon que la somme de p groupes est supérieure à ^ et augmente indéfiniment avec p ; la série est donc divergente.

32. Remarque. — Si Ton supprime dans une série un ou plusieurs termes parmi les premiers, la série restante est convergente ou divergente en même temps que la première.

Supposons en effet que Ton supprime dans la série

Hl -h «2 -I- • • • -{~Up-\- • • • -h i/„ -h • • •

un certain nombre de termes parmi les premiers, et que le rang de ces termes ne dépass;e pas le nombre p. Si l'on forme dans la série proposée et dans celle que l'on obtient après cette suppression les sommes des termes jusqu'à h„, ti étant quelconque supérieur à p, ces sommes, diffèrent Tune de l'autre d'une quantité fixe égale à la somme des termes supprimés ; par suite, si l'une a une limite lorsque n augmente indéfiniment, il en est de même de l'autre. Les deux séries sont donc en même temps convergentes ou divergentes.

Cette remarque permet, dans la recherche de la convergence ou de la divergence d'une série donnée, de faire abstraction d'un nombre fini de termes pris parmi les premiers, ou de considérer seulement lestermes dont le rang dépasse un nombre donné.

33. Séries à termes positifs . — Nous commencerons par étudier les séries dont les termes ont tous le même signe ; nous pouvons les supposer positifs ; tout ce que nous dirons de ces séries s'appliquerait au cas où les termes seraient tous négatifs.

On reconnaît ordinairement qu'une série à termes positifs est

convergente ou divergente en la comparant à une autre série dont les termes sont plus simples, en particulier à une progression géométrique et en appliquant les théorèmes suivants :

Théorème II. — Si la somme des n premiers termes d'une série à termes positifs reste finie lorsque n augmente indéfiniment, la série ■est convergente.

En effet, les termes de la suite formée par les sommes successives

vont en croissant lorsque n augmente ; s'ils restent inférieurs à un nombre fixe, ils ont une limite (n° 25), et Ton en conclut que la série -est convergente.

Ceci nous montre que si ime série à termes positifs est divergente, la somme S„ augmente indéfiniment avec n, car sinon la série serait <?onvergente.

Théorème III. '- — Si les termes d'une série à termes positifs sont, à, partir d'un certain rang, inférieurs ou au plus égaux aux termes de même rang d'une autre série de même nature que Von sait être -comyergente, la série proposée est également com^ergente.

Si la propriété indiquée dans Té nonce a lieu à partir d'un certain rang p, nous appliquerons la remarque du n° 32 et nous ferons abstraction dans les deux séries des p premiers termes ; si le théorème est vrai pour les séries obtenues après la suppression de ces p premiers termes, il sera encore vrai pour les séries proposées. Nous sommes ainsi ramenés à le démontrer dans le cas où tous les termes d'une série à termes positifs à partir du premier sont inférieurs ou au plus égaux à •ceux d'une -autre série de même nature que Ton sait être convergente.

Si cela a lieu, la somme S„ des n premiers termes de la première série est inférieure ou au plus égale à celle des n premiers termes de la seconde, et cette dernière somme est inférieure à la somme de la seconde série ; on en conclut que S„ reste fini, et, d'après le théorème II, que la première série est convergente.

Exemples, — Les séries

38 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE

{n\ si 11^ g . sin* 2a . sin* 3a . . sin* n%

sont convergentes, car le terme de rang n de chacune d'elles est au plus

égal à — , et la série dont ce dernier nombre est le terme général est

une progression géométrique convergente.

On verrait de même que si les termes (Tune série à termes positifs sont à partir d'un certain rang supérieurs ou au moins égaux aux termes de même rang d'une autre série de même nature que Von sait être divergente^ la série proposée est également divergente.

34, Théorème IV. — Si dans une série à termes positifs "i-l-"2-l- • • • -1- Wii-+- Wfi+l-h • • • 1

le rapport -^^^ d'un terme au précédent est, à partir d'un certain

rang, inférieur à un nombre donné k plus petit que i, la série est convergente ; si ce rapport est, à partir d'un certain rang, supérieur à l'unité y la série est divergente.

Supposons qu'à partir d'un certain rang p les rapports

"p Wp + 1 l'n

soient inférieurs à un nombre k plus petit que 1 ; on aura

Up=Up,

Up^^<kup,

Up+z<ffUp^t<k^Up, • • • ï

les termes de la série proposée sont à partir du rang p inférieurs ou au plus égaux à ceux d'une progression géométrique décroissante de raison k, qui est convergente ; cette série est donc elle-même convergente (Th. III).

Supposons maintenant que le rapport dun terme au précédent soit supérieur à l'unité ; tous les termes à partir de Up sont au moins égaux au terme i/^, et ils ne tendent pas vers zéro ; la série est donc divergente (Th. Il

85. Pour appliquer ce théorème, on cherche ordinairement si le rapport -^^^ a une limite pour n infini ; si cette limite existe et est un

nombre l inférieur à l'unité, on peut affirmer que la série est convergente. On peut en effet affirmer, d'après ce que nous avons dit au n° 24 sur les limites, qu'à partir d'un certain rang, le rapport d'un terme au précédent est inférieur à un nombre /-f-e qui diffère de / d'aussi peu qu'on le veut, et l'on peut toujours prendre ce nombre / -h e inférieur à l'unité ; en le prenant pour valeur de k, on se trouve dans les conditions du théorème précédent et la série est convergente.

Si la limite / est supérieure à l'unité, le rapport d'un terme au précédent est, à partir d'un certain rang, supérieur à un, et la série est divergente.

Si la limite / est égale à l'unité, on ne peut en général rien affirmer sur la convergence ou la divergence de la série.

Comme exemple, la série suivante, où a est un nombre quelconque positif,

Wn-Hl

est toujours convergente, car le rapport -^^^ a pour valeur

"n HZL±J = ±

Un n et a pour limite zéro.

La série

est au contraire toujours divergente, car le rapport d'un terme au précédent a pour valeur na et augmente indéfiniment avec n. La série

est telle que

Un n-hl

40 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

a pour limite a pour n infini ; elle est convergente si a est <; i . ft divergente si a est >> 1 ; elle est aussi divergente pour a = 1 , puisqu'elle se réduit à la série harmonique.