VI. PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES DES QUADRIQUES

405. Plans diamétraux. — Nous allons chercher le lieu des milieux

des cordes d'une surface du second ordre parallèles à une direction donnée ; nous déterminerons ce lieu par une méthode analogue à celle que nous avons employée au n° 375 dans le cas des coniques.

Soit P le milieu d'une corde MM' dont la direction fait avec les axes de coordonnées des angles donnés a, p, y, et soit p la valeur algébrique du segment PM [fig, 130); si x, y, z sont les coordonnées du point P, celles de M sont

X = x-4-pcosa, Y=j/ + pcos|3, Z = zH-pcoSY;

en écrivant que ce point est sur la surface représentée par f[x, y, s)==0, nous avons la relation

/■(j-f-pcosa, y + pcosp, z-j-pcosy) = 0;

développons le premier membre d'après la formule de Taylor suivant les puissances croissantes de p; nous trouvons

/ (x,y, 2)4-p(/*xCOSa4-/*;cosp-h-/*icosr)

-^ V (A cos' a -f 2/*;, cos a cos p 4- ••• ) = 0.

Celte équation en p est du second degré et a pour racines les segments PM et PM'; si le point P est le milieu de MM', ces ra-

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cines doivent être égales et de signes contraires, et leur somme doit être nulle; nous trouvons ainsi que x, y, z doivent satisfaire à la condition

fie cos a -f- /"y cos p -h Z*^ cos Y = 0 .

Cette équation est du premier degré ; elle représente un plan qui est le lieu du point P milieu des cordes MM', et qu'on appelle plan diamétral de la direction de ces cordes.

Si cette direction est définie par ses paramètres directeurs, que nous appellerons /, m, n, les cosinus des angles a, p, y sont proportionnels à ces paramètres, et Téquation précédente peut s'écrire

Remarque. — Lorsque la corde MM', en se déplaçant parallèlement à elle-même, devient tangente à la surface, le point de contact se trouve dans le plan diamétral ; nous en concluons que le plan diamétral d'une direction de cordes coupe la surface suivant la conique lieu des points de contact des tangentes parallèles à cette direction ; cette conique est la directrice d'un cylindre circoncrit à la surface parallèlement à la direction donnée, et elle est aussi le lieu des points de contact des plans tangents parallèles à cette direction.

406. Centre des quadriques. — Si une quadrique a un centre, ce point doit partager en deux parties égales toutes les cordes qui passent par lui ; il doit donc appartenir aux plans diamétraux de toutes les directions de cordes, ou bien faire partie du plan représenté par l'équation

(1) quelles que soient les valeurs de l, m, n\ il faut donc que ses coordonnées satisfassent à la fois aux équations

ces conditions, qui sont nécessaires, sont du reste suffisantes, et toute solution des équations précédentes détermine un centre de la surface.

En supposant f(Xf y, z) écrit sous la forme générale du n° 404, les équations (2), développées, sont

A X -h D'y H- B'z -f- C =0, Wx-^k'y^Bz -hC'=::0, B'x-+- Bj/-+-A''z-hC'' = 0;

le déterminant des coefUeients des inconnues dans ces équations est précisément celui que nous avons appelé A au n° 404 ; nous voyons donc que si A n'est pas nul, c'est-à-dire si la surface est du genre ellipsoïde ou hyperboloîde, elle a un seul centre ; dans les autres cas, elle n'a pas de centre ou en a une infinité.

Remarquons que si C, Cet C sont nuls, c'est-à-dire si l'équation ne possède pas de terme du premier degré, les équations (2) sont satisfaites par les valeurs x = 0, t/ = 0, z =: 0, et Torigine est centre de la surface.

407. Diamètres. — On appelle diamètre d'une direction de plans