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dans une surface du second ordre le lieu des centres des sections
faites dans une surface par des plans parallèles à cette direction. Un tel centre P {fîg, 131) est caractérisé par cette propriété qu'il partage en deux parties égales toutes les cordes telles que MM' qui passent par lui dans le plan de la section correspondante ; il appartient par conséquent aux plans diamétraux de toutes les directions parallèles au plan donné (3).
Si /, m , /i sont les coefficients directeurs d'une direction de cordes MM^ le plan diamétral de cette direction est représenté par l'équation (1); d'autre part, /, w,' n doivent satisfaire, d'après la condition du parallélisme d'une droite et d'un plan (n° 106), à la condition
/L-hmM-f-/ïN = 0;
Fig. 131.
nous pouvons tirer de cette équation l'une des trois quantités /, m, n en fonction des autres ; si par exemple L n'est pas nul, nous avons
-—; en portant cette valeur dans l'équation (1) du plan
diamétral et en ordonnant le premier membre par rapport à m et n, nous avons
{r,-^nyin-lr.)-o.
'iTi'
PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES DES QUADRIQUES 553
Tous les plans représentés par cette équation, lorsque m et ti varient, passent constamment par la ligne dont on obtient les équations en annulant séparément les coefficients de m et « ; elles peuvent s'écrire sous la forme suivante
et représentent une droite. Nous arrivons ainsi à ce résultat : le lieu des centres des sections d'une quadrique par des plans parallèles à un plan donné, c'est-à-dire le diamètre de ce plan, est une droite ; le le diamètre du plan (3) est représenté par les équations (4).
Nous pouvons remarquer que les équations (4) sont satisfaites par les coordonnées de tout centre de la surface, puisque ces coordonnées, d'après les équations (2), annulent fx,fy^ift'y nous en concluons qu'un centre d'une quadrique appartient à tous les diamètres de cette quadrique.
Lorsque le plan sécant, en se déplaçant parallèlement au plan donné, devient tangent à la surface, le point de contact est le centre de la section ; il appartient donc au diamètre ; nous en concluons que les points communs à une surface du second ordre et au diamètre d'une direction de plans sont les points de contact des plans tangents à la surface parallèles à cette direction,
408. Application à rellipsoïde. — Nous allons appliquer ce qui précède à l'ellipsoïde représenté par l'équation
ir»* i|2 >»*
ce que nous dirons s'étendrait aux hyperboloïdes et au cône en changeant le signe de c^ et en modifiant le terme constant, ce qui ne change pas les équations (i) et (4).
Le plan diamétral de la direction de cordes l, m y n est représenté par l'équation
/«,\ Ix my nz ^
et le diamètre de la direction de plan (3) a pour équations
^ ^ a^L b^M cm
Supposons que Ton prenne comme direction de plan celle du plan diamétral (5); le diamètre de cette direction est représenté par les
équations (6) , où Ton remplace L, M et N par "Y '77'"^ obtenons ainsi les équations
nous
la direction de la droite qu'elles représentent est précisément celle des cordes dont le plan (5) est le plan diamétral ; nous avons par suite le théorème suivant, exprimant la réciprocité qui existe entre les diamètres et les plans diamétraux :
Le diamètre d'une direction de plan diamétral est parallèle aux cordes que ce plan partage en deux parties égales.
Cela posé, soit Q un plan diamétral quelconque [fig. 132) et
MOM| son diamètre; d'après ce que nous venons de voir, ce diamètre est parallèle aux cordes que ce plan partage en deux pai*ties égales. Nous savons de plus, d'après la manière même dont nous avons obtenu les équations d'un diamètre (n° 407), que la droite MOMi est contenue dans le plan diamétral de toute corde parallèle au plan Q.
Soit M'OMJ une corde tracée dans le plan Q par le centre 0, et soit M'OMÎ la trace de son plan diamétral MM"MÎ sur ce plan Q ; M^OMJ coupe en deux parties égales les cordes de ce plan parallèles à la direction M'OMI ; elle est donc le diamètre conjugué de cette direction dans la section de la surface par le plan Q .
D'après la réciprocité qui existe dans ce plan entre les diamètres M'OMi' et M^'OMJ, le premier partage en deux parties égales les cordes parallèles au second, par suite le plan diamétral de M'OMÎ est le plan déterminé par OM et OM'. 11 résulte de ce qui précède que les trois droites OM , 0M\ OM" jouissent de cette propriété que le plan diamétral de chacune d'elles est celui qui est déterminé par les deux
Fig. 132.
PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES DES QUADRIQUES 55S
autres ; on dit que ces droites forment un système de diamètres conjugués de l'ellipsoïde.
D'après les remarques faites précédemment, les plans tangents à Tellipsoïde aux extrémités d'un diamètre sont parallèles au plan diamétral conjugué de ce diamètre ; les plans tangents à la surface aux extrémités de trois diamètres conjugués forment par suite un parallélipipède qui lui est circonscrit et dont les faces sont parallèles aux plans diamétraux formés par ces diamètres pris deux à deux.
Soient (/, m, «), (l', m', n'), {l", m", n") les paramètres directeurs de trois diamètres conjugués; ils sont liés par les équations que Ton obtient en écrivant que chacun d'eux est contenu dans le plan diamétral de Tun des autres, plan qui est représenté par une équation de la forme (5) ; ces équations sont
Si 2a', 2b' et 2c' désignent les longueurs de trois diamètres conjugués de rellipsoïde, l'équation de la surface, lorsque ces diamètres sont pris comme axes de coordonnées, est
409. Axes d'une surface du second ordre. — Ëtant donnée une surface du second ordre représentée par l'équation générale
f[x, y, z) = Ax^ -h k'y^ -+- M'z^ -h 2B«/2 -h 2^'zx -\- 2Wxy
H- 2Gr-4- 2Ci/ H- 2ÇJ'z 4- D = 0,
on reconnaît qu'une droite est un axe à ce qu'elle est le diamètre d'une direction de plans qui lui est perpendiculaire, et l'on reconnaît qu'un plan est un plan de symétrie ou, comme on dit, un plan principal, à ce qu'il est le plan diamétral d'une direction de cordes qui lui est perpendiculaire ; les droites d'intersection des plans principaux deux à deux sont du reste les axes de la surface.
mm' b^
nn' 6-2
