MM I

Une surface du second ordre a en général trois plans principaux formant un trièdre trirectangle ; les arêtes de ce trièdre sont alors les axes de la surface ; pour déterminer les directions de ces axes, on opère de la façon suivante :

Soient l, m, n les paramètres directeurs d'un axe de symétrie de la surface représentée par Téquation précédente ; le plan diamétral conjugué de cette droite est représenté par Téquation (1), qui s'écrit, en développant les calculs,

(7) (A/ -^ B^m -f- B'n)x -f- [Wl~\-k'm -h hn)y -h (B7 -f- Bm -h M'n)z

(C/-hC'm-+-C'/i) = 0;

pour qu'il soit perpendiculaire à la direction donnée, il faut et il suffit que l, m, n soient liés par les équations

Al-hB''m-hWn ^ B' l -^ X' m -h Bn ^ B7 -4- Bm -4- A"yi l m n

Pour les résoudre, on égale à S la valeur commune des rapports précédents ; en chassant les dénominateurs et faisant passer tous les termes dans le premier membre, on a

{X — S)l-\-B'm-^B'n = 0, B7-f-(A' — S)m-hBfi = 0, B^Z-HB/n + CA" — S)/i = 0;

ces équations linéaires et homogènes doivent être satisfaites par un système de valeurs non toutes nulles de l, m, n\ il est donc nécessaire que le déterminant des coefficients de ces inconnues soit nul, c'est-à-dire que l'on ait

Le problème de la recherche des axes d'une quadrique est ramené à la résolution de l'équation du troisième degré précédente, que l'on appelle équation en S ; nous démontrerons dans un instant qu'elle a ses racines réelles.

PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES DES QUADRIQUES 557

Lorsqu'on a calculé une de ses racines, les trois équations (8), où S est remplacé par cette racine, sont compatibles, et en résolvant deux d'entre elles par rapport à deux des inconnues après avoir donné à la troisième une valeur arbitraire, on obtient des valeurs proportionnelles à /, m, n; ces valeurs déterminent la direction d'un axe de la surface; l'équation (7) représente alors le plan diamétral qui lui est conjugué, c'est-à-dire le plan principal perpendiculaire à cet axe. On trouve de cette façon, au moyen des trois racines de l'équation en S, les trois plans principaux de la surface ; leurs intersections deux à deux sont ses axes de symétrie.

Soient S et S' deux racines distinctes de l'équation en S ; les paramètres directeurs /, m, n de l'axe correspondant à la première satisfont aux équations (8), et les paramètres /', m', n' de l'axe correspondant à la seconde satisfont à des équations que l'on déduirait des précédentes en remplaçant S, l, m et n par S', /', m' et n' ; soient (8''''*) ces équations.

Si l'on fait la somme des premiers membres des équations (8) multipliés respectivement par /', m', n' et si l'on en retranche celle des premiers membres des équations (8'*'*) multipliés par l, m, n, on obtient la relation

(S' — S) (//' -h mm' -f- nn') = 0 ;

comme le premier facteur S' — S n'est pas nul, on voit que l'on a //' -h mm' -4- nn' = 0.

Cette relation montre que les deux directions définie* par l, m, n et par /', m', n' sont rectangulaires ; elle permet en outre de démontrer que l'équation en S a ses racines réelles. Supposons en effet qu'elle ait deux racines imaginaires conjuguées S et S' ; les équations (8) et (8*"'') donnent pour l, m, n et pour /', m', n' des valeurs respectivement conjuguées ; les produits //', mm' et nn' sont dès lors des sommes de carrés non tous nuls, et la somme II' -f- mm' -+- nn' est positive et non nulle ; comme cette conclusion est en contradiction avec la relation précédemment démontrée, il est impossible que l'équation en S ait des racines imaginaires, ce qu'il fallait démontrer.

410. Section d'une surface par le plan tangent en un point. —

Pour se rendre compte de la forme d'une surface aux environs d'un de ses points, on détermine ses sections par différents plans passant par ce point, en particulier par le plan tangent et par des plans passant par la normale ; les sections par ces derniers plans sont appelées sections normales de la surface.

Nous supposerons que le point donné est pris comme origine, la normale comme axe des z, et le plan tangent comme plan des xy; nous admettrons de plus que Téquation de la surface est donnée sous la forme

Si nous développons f{x, y) suivant les puissances croissantes de X et de y d'après la formule de Maclaurin,

I [f'AO, 0)x» + 2/-i,(0, 0)xy

les trois premiers coefficients sont nuls, et le développement commence par les termes du second degré ; en effet, /*(0, 0) est d'abord nul, puisque la surface passe à l'origine ; de plus, l'équation du plan tangent en ce point à la surface est

comme elle doit se réduire à Z — 0, les deux dérivées fi et f doivent être nulles pour x = 0 et .y = 0.

•fi-

ao9

Nous représenterons par r, s et t les dérivées secondes pour X = y = 0, et nous écrirons

La section par le plan tangent à Torigine est représentée par Téquation obtenue en faisant z = 0, c'est-à-dire en annulant le second membre de la relation (2). Gomme il n'y a pas de terme du premier degré, la courbe a un point double à Torigine (n° 219) et les tangentes en ce point sont représentées par Téquation obtenue en annulant les termes du second degré ; si nous désignons par ^[x, y) Tensemble des termes contenus dans la première parenthèse, cette équation sera

cp(x, y) = rx^ -h 2sxy -4- ty^ = 0.

!•' Cas. — Si s* — ri est négatif, les tangentes sont imaginaires et le point 0 est un point double isolé ; pour des valeurs de x et de y suffisamment petites, s a le signe du trinôme <p(j:, y) et ce signe est constant ; nous en concluons qu'aux environs de l'origine la surface a tous ses points d'un même côté du plan tangent. Une sphère, un ellipsoïde sont des exemples de ce cas.

2* Cas. — Si s^ — ri est positif, les tangentes au point double sont réelles, et la courbe présente deux branches qui se coupent au point 0. Ces branches séparent le plan tangent, aux environs de ce point, en quatre régions deux à deux opposées par le sommet.

Suivant que — est compris entre les racines de l'équation

ou en dehors de l'intervalle de ces racines, le trinôme (3) a un certain signe ou le signe opposé ; nous déduisons de là que pour les petites valeurs de x et de y, z a. un certain signe, lorsque le point [x, y) est dans une des régions du plan tangent déterminées par les branches de la section ou dans la région opposée, et qu'il a un signe différent du précédent, lorsqu'il se trouve dans l'une des deux autres régions. Nous en concluons que la surface traverse le plan tangent et qu'elle possède, aux environs de l'origine, des points situés tantôt d'un côté

âï

tantôt de Tautre de ce plan. Un hypcrboloîde à une nappe, un paraboloîde hyperbolique sont des exemples de ce cas.

3* Cas. — Si »* — rt est nul, les tangentes au point double sont confondues, et la section par le plan tangent présente à Torigine un point de rebroussenient.

411. Seelion par un plan quelconque. — Considérons maintetenant la section de la surface par un plan quelconque passant par le point 0 et différent du plan tangent en ce point ; nous nous proposons de déterminer le centre et le rayon de courbure de cette section au point 0. Sans nuire à la généralité, nous pouvons supposer que Taxe des 2 a été choisi comme précédemment suivant la normale

au point 0, et de plus que Taxe des X est la trace du plan sécant sur le plan tangent à l'origine ; soit OY la trace de ce plan sécant sur le plan yOz, et soit (p l'angle de OY avec la normale Os [fig. 133).

Nous allons former l'équation do la section de la surface par le plan xOY ; pour cela, imaginons qu'on prenne un axe OX confondu avec Ox, qu'on construise un axe OZ formant avec OX et OY un trièdre trirectangle de même sens que le trièdre Oxyz, etqu'on fasse la transformation de coordonnées qui permet de passer du système Oxyz au système OXYZ ; il suffît, dans le cas actuel, de poser, d'après les formules du n° 36(),

X ~ X , 1/ -- Y sin tp — Z cos a», z^-\ cos (p -h Z sin ^ ; l'équation (1) de la surface devient alors

Y cos (p -+- Z sin <p — /*(X, Y sin cp — Z cos (p). Si nous faisons ensuite Z = 0, nous avons l'équation

Y cos ^ = f{\, Y sin (p), qui représente la courbe de section dans son plan ; en supposant que

Fig. 133.

f soit remplacé par sa valeur (2), nous pouvons écrire celte équation

(4) Y cos cp = i- (rX* -h 2«X Y sin ç -f- / Y^ sin^ (p)

-\- — (uX'-t- ' ' ') -\- • • • .

Soit G le centre de courbure de la section au point 0 ; il a une

\ -f- Y'* ordonnée (OC) égale à la valeur de — — — pour X = 0 et Y = 0

(n® 249, formule 5), et le rayon de courbure est égal à la valeur absolue de OC ; or, en dérivant les deux membres de Téquation (4) par rapport à X, nous avons

V cos (p = rX -f- «Y sin <p -f- «XY' sin (p -h <YY' sin2 (p 4- . . . ,

pour X r= 0, Y = 0, ces relations donnent Y' = 0 et Y" = ;

nous obtenons par suite

Lorsque Ton a cp = 0, c'est-à-dire lorsque le plan de section passe

par Taxe Ox et par la normale Oz, le centre de courbure est un point

Co dont l'ordonnée a pour valeur (OCo) = — ; la formule (5) nous montre

que le centre de courbure C de la section déterminée par un autre plan passant par Ox est la projection de Co sur le plan sécant. Nous avons donc le théorème suivant, connu sous le nom de théorème de Meusnier :

Le centre de courbure en un point d'une section plane d'une surface est la projection sur le plan sécant du centre de courbure de la section normale ayant même tangente en ce point.

Il résulte de ce théorème que Ton connaîtra les centres de courbures de toutes les sections dès que Ton aura les centres de courbure des sections normales ; les sections d'une sphère donnent un exemple immédiat de l'application de ce théorème.