Centre et rayon de courbure d*une section normale
Nous supposerons, pour simplifier, que Ton choisisse pour axes Ox
VoGT. — Math. sup. 36
Cl*
et Oy dans le plan tangent les axes de la conique représentée par réquation (3) ; s est alors nul et l'équation (2) prend la forme
z = i {rx-' + ty') + -J (ux' +
considérons un plan de section normale passant par Oz et dont la trace OX sur le plan tangent fait avec Ox un angle égal à 0
{fig, 134); si X est dans le système XOz Fabscisse d'un point M de la section, on a
a: = Xcosô, i/ = Xsin6,
et Téquatioti de la courbe dans son plan est
z = \{r cos* Ô -4- 1 sin2 e) X*
Fig. 134.
— (u cos'' 6 b
En appliquant la formule (5) dans le cas particulier où ^ est nul, et en désignant par z^. la cote du centre de courbure de la section au point 0, on voit que cette cote a pour valeur
T cos* 6 -\- i sin* 6 '
le rayon de courbure correspondant est égal à la valeur absolue de z^ . Pour étudier la variation du centre et du rayon de courbure d'une section normale lorsque le plan de cette section tourne autour de
TU
Os, il suffit de faire varier 6 de 0 à - dans la formule (7) ; deux
sections dont les plans sont symétriques par rapport au plan orOz ont en effet même centre de courbure au point 0.
1" Cas. — Si r et i sont égaux, Zq est constant pour toutes les sections normales ; on dit que le point 0 est un ombilic de la surface. Tout point d'une sphère est un ombilic ; on démontre qu'un point d'un ellipsoïde où le plan tangent est parallèle à un plan de section circulaire est un ombilic de cette surface.
2' Cas. — Si r et l sont de même signe et inégaux, on peut
les supposer positifs, car sinon on remplacerait la direction de Taxe des z par la direction opposée, ce qui reviendrait à changer z en — s dans réquation (6). Si r et / sont positifs, la surface, comme on Ta vu au n° 410 (!'*'' cas), a tous ses points aux environs de l'origine situés
du même côté que Oz par rapport au plan tangent; Zç^ est cons-
tamment positif et reste compris entre les valeurs — et — qu'il
ri
prend pour 6 = 0 et 6 = — .
té
On en conclut que le rayon de courbure passe par un maximum ou par un minimum lorsque le plan sécant passe par Ox ou par Oi/ ; les sections normales correspondantes sont appelées sections principales de la surface au point 0. Les centres de courbure de toutes les sections normales en ce point sont compris entre les centres de courbure des sections principales.
3* Cas. — Si r et t sont de signes contraires, on peut supposer, en choisissant convenablement la direction de Oz, que r est positif et que t est négatif ; d'après ce que Ton a vu au n° 410 (2* cas), la section de la surface par le plan tangent au point 0 a un point double à branches réelles, et les tangentes aux deux branches font avec Ox des angles égaux et de signes contraires 6i et — 6i donnés par la relation
r cos2 6 -f- < sin2 e = 0.
Lorsque ô varie de 0 à Oi , les points de la section normale
sont, aux environs de Torigine, du même côté que Oz par rapport
au plan tangent ; Zq est positif et augmente depuis un minimum
égala — jusqu'à +oo.
Lorsque ô varie de 6i à —, les points de la section normale
sont, aux environs de l'origine, du côté opposé à Oz par rapport au
plan tangent; Zq est négatif et augmente de — oo jusqu'à un
{ maximum négatif égal à — •
On en conclut que le rayon de courbure passe par un minimum
pour l'une ou l'autre des sections normales dont la trace passe par Ox
ou par Oy ; ces sections sont encore appelées sections principales de la
surface au point 0. Les centres de courbure de toutes les sections
normales en ce point sont en dehors du segment de la normale dont les
extrémités sont les centres de courbure des sections principales, ces centres étant situés de part et d'autre du point 0 ; la surface est dite à courbures opposées en ce point.
4' Cas. — Si r ou i sont nuls, on peut supposer, en choisissant convenablement la direction des axes, que r est nul et que / est positif; d'après ce que Ton a vu au n° 410 (3* cas), la section de la surface par le plan tangent au point 0 présente un point de rebroussèment et la tangente en ce point est Ox. La formule (7) se réduit à
^sin«6'
lorsque 0 varie de 0 à —, Zq diivinue de -hoo à un minimum
positif égal à ; le rayon de courbure est donc infini pour la sec-
tion principale dont le plan a pour trace Ox, et est minimum pour la section principale dont le plan a pour trace Oy. On dit dans ce cas que le point O est un point parabolique de la surface.
413. Indicatrice. — On représente la variation du rayon de courbure des sections normales d'une surface en un point 0 au moyen d'une courbe tracée dans le plan tangent en ce point; on construit cette courbe en portant sur la trace OX de chaque section normale, et de part et d'autre du point 0, un segment égal à la racine carrée du rayon de courbure de cette section au point 0 ; le lieu des extrémités de ces segments est appelé indicatrice. Si R est le rayon de courbure d'une section dont la trace fait avec Ox l'angle 0, les coordonnées des points correspondants de l'indicatrice ont pour valeurs
x — ±: \/R cos 0, 1/ = ±: /r sin 0 ;
en éliminant 0 entre ces relations et la formule (7), on trouve l'équation
rx^ -\- ty^ = — .
Lorsque r et / sont positifs (1" et 2* cas), R est égala Sq, et l'indicatrice est une ellipse représentée par l'équation
rx2 -h /i/2 = 1 ;
elle a pour axes les traces des sections principales sur le plan tangent ; cette ellipse devient une circonférence si le point 0 est un ombilic de la surface.
Lorsque r et / sont de signes contraires (d*" cas), R est ég^l à Zq ou à — Zq suivant que Zq est positif ou négatif ; Tindicatrice se compose alors de deux hyperboles conjuguées représentées par les équations
rx^ 4-/^^ = 1, rx^ ^" ^.y^ = — ^ •
Lorsque r est nul et que t est positif, R est égal à Sq, et rindicatrice se compose de deux droites parallèles représentées par réquation
Lorsque Tindicatrice est construite, on obtient le rayon de courbure d'une section normale de trace OX en prenant l'un des points de rencontre M ou M' de OX avec l'indicatrice, et formant le carré du segment OM.
414. Lignes de courbure d^une surface. — On dit qu'une ligne tracée sur une surface est une ligne de courbure si la tangente en chacun de ses points est la trace, sur le plan tangent, de l'une des sections principales relatives à ce point.
Comme en tout point d'une surface existent deux sections principales, et que leurs tangentes en ce point sont rectangulaires, on voit que l'on peut faire passer par chaque point de la surface deux lignes de courbure, et qu'elles se coupent à angle droit; il existe donc deux familles de lignes de courbure, chaque ligne d'une famille coupant orthogonale ment toutes celles de l'autre.
Par exception, en un ombilic passent une infinité de lignes de courbure, car toute section normale en un tel point peut être considérée comme section principale.
Toute courbe tracée sur une sphère est une hgne de courbure de cette surface ; tout méridien d'une surface de révolution est une ligne de courbure, par raison . de symétrie ; comme les parallèles d'une telle surface coupent tous les méridiens à angle droit, on voit que les deux familles de lignes de courbure d'une surface de révolution sont les méridiens et les parallèles de cette surface.
Une propriété fondamentale des lignes de courbure est la suivante : Les normales à une surface en tous les points d'une ligne de courbure sont tangentes à une même courbe, et cette courbe est le lieu des centres de courbure des sections principales correspondant aux tangentes successives à la ligne de courbure considérée.
Voici comment on peut démontrer ce théorème : considérons une ligne de courbure issue de l'origine 0 et dont la tangente en ce point
est, par exemple, Taxe Ox considéré au n° 412 ; prenons sur cette ligne un point variable Mi voisin du point O, et désignons par C et Ci (fig. 13^) les centres de courbure des sections principales déterminées par les tangentes en 0 et Ml ; si nous montrons que la tangente en C à la courbe lieu du point Cl est la normale CO, ou bien que la limite de la droite CCi est l'axe Oz, la proposition se trouvera Fife. 135. démontrée, car le raisonnement fait
pour la normale en 0 s'appliquerait à une autre normale quelconque, et toutes les normales seront tangentes à la courbe lieu des centres de courbure.
Soient Xi, i/i, Zy les coordonnées du point Mj ; si Ton considère .r, comme un infiniment petit principal, y, et Zi sont d'ordre supérieur à Tunilé, puisque la droite OMi a pour limite Ox. Nous avons
vu précédemment que le segment OC est égal à — ; le segment MjCi est alors égal à -he, & étant une quantité infiniment petite
généralement du premier ordre ; si nous désignons par ai , pi , yi les angles de MiCi avec les axes de coordonnées, ces angles sont donnés par les relations
COSjXi COS pi COSTi
Déterminons les projections de CC| sur les trois axes de coordonnées en projetant sur ces axes les deux contours OCCi et OMiCi ;
ces projections, que nous appellerons X, Y, Z , sont
X = Xi-f-( f-e) cos «1 ,
Y=2/i-l-(— -HejcosPi,
Z = Zj -4- / — 4- e j cos Yi ;
si nous remplaçons z par sa valeur (6) en fonction de x et de y, nous trouvons, en effectuant les calculs, que X et Y sont des infiniment petits du second ordre au moins, tandis que Z est du premier ordre ; cela suffît pour démontrer que la limite de CCi est confondue avec Oz ; la proposition se trouve ainsi démontrée.
Nous pouvons encore énoncer le théorème précédent de la façon suivante :
Les normales à une surface en tous les points d'une ligne de courbure forment une surface développable ; Varête de rebroussement de cette dernière surface est le lieu des centres de courbure des sections normales correspondant aux tangentes successives à la ligne de courbure considérée.
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EXERCICES
Exercices sur les compléments d'algèbre.
