Théorème V. — Si clans une série à termes positifs

Ui H- «2 -t- • • • -f- "n H- • • • 1

y Un est, à partir d'un certain rang, inférieur à un nombre donné k

plus petit que 1, la série est convergente ; si yu^ est, à partir d'un certain rang, supérieur à l'unité, la série est dit^ergente.

Si, à partir d'un certain rang, on a

c'est que u„ est inférieur à A% qui est le terme général d'une. progression géométrique décroissante et convergente ; la série est donc aussi convergente (Th. III).

Si au contraire y m„ est > 1 , tous les termes sont >► 1 et la série est divergente.

On applique ordinairement ce théorème en cherchant si \/un a une limite ; on verrait comme au n° 35 que si cette limite existe et est < 1 , la série est convergente ; si elle est > 1 , la série est divergente, et si elle est = 1 , on ne peut en général rien affirmer sur la convergence ou la divergence de la série.

37. Calcul numérique de la somme d'une série convergente î\ termes positils . — Il est rare que l'on puisse déterminer exactement la somme d'une série convergente, en dehors du cas particulier des progressions géométriques ; le plus souvent, on ne peut calculer qu'une valeur approchée de cette somme.

Il est vrai que les méthodes que nous allons indiquer permettent d'ohtenir cette somme avec une approximation aussi grande qu'on le

veut; on peut, de cette façon, former si on le désire une suite de

valeurs approîîhées à — i —, —, . . . près, et la somme cherchée

sera la limite de cette suite de la même manière que \r2 est la limite de ses valeurs approchées avec 1, 2, 3, ... chiffres décimaux. Toutefois la formation d'une telle suite est plutôt théorique que pratique.

^t Ton se contente dans les applications numériques d'une seule valeur iipprochée de la somme, obtenue avec une approximation fixée à l'avance. Ëtant donnée la série convergente

II, -f- U2 -f- • • • + u„ + Un^i -f- • • • 1

on se sert seulement d'un certain nombre de termes pris à partir du premier et Ton néglige les suivants, qui sont relativement petits, puisque le terme général tend vers zéro ; de plus, on remplace les termes conservés par leurs valeurs décimales approchées à un certain xlegré d'approximation. En supposant que l'on s'arrête à «„, et que l'on substitue à «,, w^, ..• -^ "n Ips valeurs approchées u[, ui, . . ., Un,- on prend la somme

S,i = «i -f- «i H- • • • -h Un

comme valeur approchée de la somme S" de la série.

L'erreur ainsi commise sur S se compose : 1° de l'ensemble des

termes négligés, que l'on appelle ordinairement le reste de la série, et

qui est

Hfi = w„^i -\- H„j.2 -f- • • • ;

2° des erreurs que l'on commet sur zi,, «21 • •. "« ^n leur substituant les valeurs «!, i/a, .... Wn- La détermination exacte de ces erreurs est en général impossible, surtout celle de la première, mais on peut trouver une limite supérieure de leur somme, et cette limite est la seule quantité qu*il importe de connaître.

Généralement, l'on se donne à l'avance le degré d'approximation avec lequel on veut calculer une valeur approchée de S; on détermine alors le rang n du terme auquel on doit s'arrêter, ensuite l'approximation avec laquelle on doit calculer les termes conservés pour que l'erreur totale commise soit inférieure à la limite que l'on s'est imposée.

Des deux sortes d'erreurs que nous avons mentionnées, la seconde, provenant delà substitution à «1,1/2, . . ., «„ de valeurs décimales approchées, est du domaine de l'arithmétique et nous n'insisterons pas sur sa détermination ; c'est la première erreur, c'est-à-dire la valeur de R„ ou une limite supérieure de cette valeur, qu'il nous importe le plus île connaître actuellement.

" Le seul procédé pratique pour la déterminer consiste à chercher une progression géométrique décroissante

42 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE

dont les termes soient égaux ou supérieurs à ceux dont se compose le reste R„ de la série ; ce reste sera alors au plus égal à la somme de cette progression. Par exemple, le reste R„ des séries (6) et (7) (n** 33) est inférieur à

il. 11 1

Si Ton n'aperçoit pas immédiatement une telle progression, on peut utiliser le rapport -^^^ , ou bien Y^n » pour en former une ; supposons

que le rapport d un terme au précédent soit, à partir du rang n -h 1 , inférieur à un nombre A: <; 1 ; on verra, comme au n° 34, que Ton a

et Ton en déduira, en faisant la somme indiquée au second membre.

Rn<

Pour donner un exemple, supposons que Ton veuille déterminer une

valeur approchée à -rôfûi P*"^^ ^® ^^ somme de la séries

cette série est convergente, car le rapport

a pour limite le nombre — qui est inférieur à Tunité.

En négligeant les termes à partir du rang n, le reste de la série est

gn+1 gn

comme dans cette somme le rapport d'un terme quelconque au précé-

dent est au plus égal à celui des deux premiers, c'est-à-dire à ^ tt>

on voit, en répétant un raisonnement fait précédemment, que R„ est inférieur au nombre

Pour /i = 4, ce dernier nombre est inférieur à h-tt-t , etilenestdemême

de R„ a fortiori; il suffira alors de conserver les termes Ui, 1/2, «3 et 1/4

et d'en calculer une valeur approchée à près, car Terreur totale

sera alors inférieure à

et a fortiori a

Prenons la somme des valeurs approchées par défaut des quatre premiers termes avec 4 chiffres décimaux :

«I -f- tf i + "i H- «i = 0, 1 68 8 ;

c'est une valeur approchée par défaut de la somme de la série à 6 dixmillièmes près ; cette somme est donc comprise entre 0,168 8 et 0,169 4.