Ëtant donnée la droite représentée par l'équation
576 EXERCICES
trouver le lieu des points dont le carré de la distance à cette droite est égal au produit des distances du même point aux deux axes, et construire ce lieu.
41. Trouver le lieu des points d'un plan dont la somme des carrés des distances à n points donnés dans ce plan est constante.
42. Quelle relation doit-il exister entre les coefficients des équations de deux cercles écrites sous la forme
-f-2ax-+-
2by
pour que ces cercles soient orthogonaux ? On écrira que le carré de la distance des centres est égal à la somme des carrés des rayons.
43. Ëtant donnés sur Taxe des x deux points A et A' symétriques par rapport à 0 , trouver le lieu des points du plan dont le rapport des distances à A et A' est égal à A:; ce lieu est une circonférence. Montrer que lorsque k varie, les circonférences obtenues coupent Taxe des y en deux points fixes imaginaires, et qu'elles sont orthogonales à toutes les circonférences passant par A et A'. Les points A et A' sont appelés les points limites du premier faisceau de circonférences.
44. Montrer que la projection d'une circonférence sur un plan qui ne lui est pas parallèle est une ellipse ; on supposera que le plan de projection passe par le centre du cercle, on prendra ce centre pour origine. Taxe des x dirigé suivant le diamètre du cercle situé dans le plan. Taxe des y suivant la projection du diamètre perpendiculaire à celui-là et l'on déterminera l'équation de la projection de la circonférence rapportée à ces axes. Déduire de là la valeur de l'aire de l'ellipse.
45. Former l'équation de l'ellipse en coordonnées polaires en prenant comme pôle le centre de la courbe. Montrer que si pi et p2 sont deux rayons vecteurs rectangulaires de la courbe, on a
il il
46. Quelle est la courbe dont les points ont des coordonnées représentées en fonction du paramètre ç, par les équations
cos<p ^ ®^
47, Une sécante coupe une hyperbole en deux points A et B, et les asymptotes en deux points A' et B'; démontrer que les milieux
des segments AB et A'B' sont confondus, par suite, que AA' et BB' sont des segments égaux et de sens contraires. Déduire de là une construction par points d'une hyperbole dont on connaît les asymptotes et un point A, en faisant tourner une sécante autour de ce point et en construisant chaque fois le deuxième point de la courbe situé sur la sécante.
48. Ëtant donnés dans l'espace deux points A et B de coordonnées (x, , 2/1, Zi) et {x2, y^, Z2), les coordonnées du point C de la
droite AB tel que ^r» = ^ ont pour valeurs
LB
Xi -f-Xxs
yt + \V2
iH-X
on a ainsi, quand X varie, Texpression des coordonnées des points successifs de AB. Déduire de là les coordonnées du milieu de AB.
49. Ëtant donnés dans l'espace trois points A , B , C de coordonnées (oci, y,, Si), (j*2ï yi^ 22K (•''3, .y3, -3), montrer (|uc les coordonnées d'un point D du plan ABC ont pour valeurs
Xi^i -h XuT^ -+- AsiTs X =rz ' .y ' ^11'
Ai -|- A2 -+- A3 ' Ai -\- A'i -h- A3
Xi2i -4- X2Z2 -h Xs^s ^
déduire de là l'équation du plan passant par les trois points A, B et C ; cette équation, qui est aussi la condition pour que les quatre points A, B, C, D soient dans un même plan, est
Si
Zi
50. Déterminer les coordonnées du centre de gravité d'un triangle ou d'un tétraèdre dans l'espace .
51. Trouver le lieu des points de l'espace équidistants de deux points donnés ou de trois points donnés.
52. Montrer que pour que quatre plans représentés par des équations de la forme
Ax-j-Bt/-hCz-hD = 0
VoGT. — Math. sup. 37
:-'-it
EXERCICES
aient un point commun, il faut que le déterminant formé par les coefficients de Xy y, z et les termes connus dans ces équations soit nul.
53. Déterminer les cosinus directeurs de la droite d'intersection des deux plans représentés par les équations
AxH- Bî/ -f-Cz -h D =0, A'x -f- B'y -h Cs -+- D' = 0 .
54. Déterminer les coordonnées du point commun à trois plans, ou du point commun à un plan et à une droite représentée par les équations
x — Xq^ y — y^ ^z — zçj
on égalera à p la valeur de ces rapports et l'on trouvera la valeur de p.
55. Trouver la condition pour que deux droites données par leurs équations soient dans un même plan.
56. Former l'équation d'un plan passant par une droite et un point, ou bien passant par une droite et parallèle à une autre droite, ou bien passant par un point et parallèle à deux droites.
57. Trouver les équations de la perpendiculaire commune à deux droites; on formera l'équation d'un plan parallèle aux deux droites, puis on mènera par chacune de ces droites un plan perpendiculaire à celui-là.
