Déterminer la (jérivée d'ordre u de — ^^ de sin ax et de
yx
log(t H x).
63. Montrer que la dérivée n* d'un produit uv est donnée par la formule suivante, qu'on appelle formule de Leibniz :
wr
les coefficients successifs étant ceux du binôme.
64. Vérifier que les fonctions e"* cos bx et e-* sin bx satisfont à la relation
y" — 2ay' + {a^ + b^)y = 0 .
65. Étudier les variations des fonctions suivantes, et construire les courbes représentatives :
x*+/)x«-f-</, (x— 1)^5— x)2, x-h~ (a>0 ou a<0),
. rt tg 3x sm2x, 7^-77--
tg 2x
(x-\-\Y ' 3x2 iOj:^3'
x''e-''", X -h log (x^ — 1 ), X —
66. Etudier la variation du volume d'un cône d'apothème donné.
67. Étudier la variation du volume et celle de la surface totale d'un cylindre ou d'un cône inscrit dans une sphère donnée.
68. Étudier la variation du volume, de la surface latérale et de la surface totale d'un cône circonscrit à une sphère donnée.
69. Déterminer les dimensions d'un litre cylindrique en métal à une seule base, sachant que la surface du métal est minimum.
70. Déterminer sur la droite joignant deux points où sont placées des sources lumineuses d'intensités données différentes le point dont Téclairement est maximum.
71. On donne un petit segment rectiligne horizontal; déterminer le point où il faut placer une source lumineuse: 1° soit sur une droite donnée perpendiculaire à la direction du segment; 2° soit sur une ellipse donnée dont le centre est le milieu du segment, pour que l'éclairement de ce segment soit maximum. On sait que cet éclairement est en raison inverse du carré de la distance de la source lumineuse au centre du segment et proportionnel au sinus de l'angle formé par le rayon lumineux aboutissant à ce centre avec la direction du segment éclairé.
72. En se servant des développements en série des fonctions simples, déterminer le développement en série des fonctions suivantes :
i-hv/i
déduire du dernier développement, en posant x log (n -H 1) log n - ^r ^^^ -
iog
1 la foi-mule
3(2n-hi)=
celte formule sort à calculer les logarithmes népériens des nombres entiers successifs.
73. Sachant que la surface d'un ellipsoïde de révolution aplati dont le rayon de l'équateur est a et l'excentricité e est donnée par la formule
s = 27:aH 1 -+- -
log
développer s en série ordonnée suivant les puissances croissantes de e.
74. Développer en série arc sin x en utilisant le développement en série de la dérivée de cette fonction.
'i82 EXERCICES
