Séries à termes quelconques. — Soit

(8) UiH- «2-1- • • • H- WnH- • • •

une série dont les termes ne sont pas tous de même signe ; désignons par ^1,^2, . . ., Vni • • • les valeurs absolues ou modules de ses termes, et considérons la série des modules

(9) l'i -f- Vi -h • • • -h r„ -h • • •

Théorème VI. — Si la série des modules des termes dhine série donnée est convergente y cette série est elle-même convergente.

Désignons par S„ la somme des n premiers termes de la série donnée (8) ; elle se compose de termes positifs dont nous désignerons la somme par P„, et de termes négatifs dont nous représenterons la somme des valeurs absolues par Q„ ; de cette façon, on a

Sn = Fn Vn »

COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

Ja somme des termes correspondants de la série des modules sera

Lorsque n augmente, cette dernière somme augmente en restant inférieure à la somme de la série (9) : on en conclut que ?„ et Qa croissent avec /?, en restant inférieurs à des nombres fixes. D'après le principe du n° 25, ces deux nombres ont des limites que nous appellerons P et Q ; dès lors S„ a une limite égale à P — Q ; la série (8) est donc bien convergente.

39. Séries alternées. — Le théorème VI fournit une condition suffisante ponr la convergence d'une série à termes quelconques, mais cette condition n'est pas nécessaire, comme nous le verrons plus loin. Les séries les plus importantes après les séries à termes tous de même signe sont celles dont les termes sont alternativement positifs et négatifs, et que Ton appelle séries alternées ; pour un grand nombre d'entre elles, on peut appliquer le théorème suivant :

Théorème VII. — Si les termes d'une série alternée vont constamment en décroissant en valeur absolue et tendent t^ers zéro, la série est convergente.

Nous pouvons supposer sans inconvénient que le premier terme est positif; nous écrirons la série, en mettant en évidence le signe des termes, sous la forme

(10) li, — 1,2-4- Wj— 11^-^ .'.-. -4-(i)n-lu„-h ...

Nous emploierons une représentation géométrique pour démontrer le théorème. Sur une droite indéfinie (fig'. 1) ; portons à partir d'un point 0 une longueur OAi mesurée par Wi , puis en sens contraire

Fig. 1

AiA2= u-i, puis dans le sens primitif A2A3 = 1/3, et ainsi de suite; la

somme S„ des n premiers termes de la série (10) est mesurée par 0A„.

Comme les nombres «1,1/21 • . • vont en décroissant, A2 est entre

O et Ai , A3 entre Aj et Ai, etc. , et chaque point est situé entre les deux précédents dans la suite 0, Ai, Aj, A3, ...

On voit que les sommes Si , S^ , . . . , S^» , ... sont représentées par OA2, OAt, . . . , OAin, ... et augmentent en restant inférieures à Si ; elles ont donc une limite (n° 25) ; de même les sommes Si, Sa, . . . , Sin+u • • • ï sont représentées par OA, , OA2, . . . , OAan+t» ... et diminuent en restant positives; elles ont aussi une limite. Ces deux limites sont égales, car la différence entre Sj„^.i et Sîn est égale à ii2n+i et tend vers zéro; on en conclut que la série est convergente.

Le raisonnement précédent montre que les points Ai, A2, . . . , A2111 A^A+i, . . . ont un point limite A tel que OA soit égal à la somme de la série.

Exemple. — La série

satisfait aux conditions du théorème, elle est donc convergente; cependant la série des modules de ses termes est divergente, car elle est la série harmonique (n° 31).

40. Calcul de la somme d*une série alternée convergente. — Le

calcul numérique approché de la somme d'une série convergente à termes quelconques se fait, comme au n° 37, en utilisant seulement un certain nombre de termes à partir du premier, et en calculant des valeurs décimales approchées des termes conservés. L'évaluation du reste de la série, ou d'une limite supérieure de la valeur absolue de ce reste, n'est pas aussi simple que dans le cas des séries à termes positifs ; si Ton sépare dans le reste R„ la partie positive de la partie négative, et si Ton écrit

il faut calculer une limite supérieure de Tune des deux parties et une limite inférieure de l'autre, de façon à obtenir une limite supérieure de la valeur absolue de la différence.

Le seul cas que nous examinerons est celui d'une série jouissant de la propriété énoncée au théorème VII ; on peut alors donner la règle simple suivante :

46 COMPLÉ3IENT8 D^ALGÈBRE

Le reste R„ a le même signe que le premier terme négligé, et sa valeur absolue est au plus égale à celle de ce terme.

On voit en effet sur la figure que si Ton s'arrête au terme U2n-i ? R„ est représenté par A2„iA; il est négatif et inférieur en valeur absolue à A2„iA2,m c'est-à-dire à u^^'y si l'on s'arrête au contraire à «2n>R/i est positif et inférieur à A2„A2„+i, c'est-à-dire à «2„+i, ce qui démontre la règle.

Par exemple, si Ton veut que le reste de la série (H) soit inférieur à un centième, on peut négliger les termes à partir du centième, de sorte que l'on a à calculer les cent premiers ; comme il n'est pas facile d'énoncer de règle permettant de se limiter à un moins grand nombre de termes, on voit sur cet exemple combien est pénible le calcul de cette série. En général le calcul des séries alternées est peu commode, et l'on préfère leur substituer dans les applications, lorsque c'est possible, des séries à termes positifs; ces dernières sont, comme on dit, plus rapidement convergentes.