Démontrer que Téquation ^ ^ H Ç__H .. . -f--J

où A, B, C, ... L sont des nombres de même signe, a toutes ses racines réelles et séparées parles nombres a, b, c^ ... /.

112. Étant donnée une équation algébrique f{x) = 0, de degré Tiy dont le premier coefficient est positif, on forme les dérivées successives f'[x)^ f"[^)i ••• /^^"~*^(^)i la dernière étant un polynôme du premier degré ; on calcule le plus petit nombre entier Xx qui rend yr(n-i)(j;) positive, puis on substitue dans f^'"~'^^{x) les nombres entiers à partir de Xi , jusqu'à ce qu'on trouve un nombre x^ égal ou supérieur à Xi rendant f^''~''^\x) positive; on substitue de même dans f<^"-^>{x) les nombres entiers à partir de X2 jusqu'à ce que le résultat soit positif, et ainsi de suite jusqu'à la fonction f{x) elle-même; montrer que pour toute valeur de x égale ou supérieure au dernier nombre obtenu a;„, f{x) est positif et non nul, de sorte que x^ est une limite supérieure des racines réelles et positives de l'équation ; cette limite a été donnée par Newton.

Montrer qu'en changeant a: en — x dans l'équation donnée, on forme une nouvelle équation dont les racines positives sont les valeurs absolues des racines négatives de la première ; la limite supérieure des racines positives de cette nouvelle équation est une limite supérieure des valeurs absolues des racines négatives de la proposée.

113. Séparer et calculer numériquement les racines réelles des équations

(1) x^ — 4a;2 — 16xH-20=:0, (2) e^ — 4x = 0,

(3) ^±^ = 0:, (4) x^l,8(l+logx),

(5) (1,0 077)^ — 9,12x^=12 000, (6) x — cosx^O, -

(7) X — 2sinx = 0, (8) arctgx = — ;

on a à résoudre la troisième lorsque l'on cherche le point de contact d'une chaînette et d'une tangente à cette courbe issue de l'origine ; la

588 E?eERCTCES

quatrième et la cinquième se présentent lorsque Ton cherche, avec des données numériques particulières, le degré de détente d'une machine à vapeur ou la température du foyer d'une chaudière, et la sixième se présente lorsque Ton demande de couper la surface d'un demi-cercle en deux parties équivalentes par une parallèle au diamètre.