Étant donnée l'équation d'une chaînette

déterminer la valeur de a de façon que cette courbe passe par un point donné de coordonnées Xq et uq, et discuter l'équation obtenue ; calculer numériquement la valeur limite que peut prendre le rapport

-^ pour que le problème soit possible.

115. Soit X — cpfo*) = 0 une équation dans laquelle ^{x) est une fonction dont la dérivée cp'(j) reste en valeur absolue constamment inférieure à un nombre donné k plus petit que 1 ; démontrer que cette équation a une seule racine réelle, et que celte racine est la limite de la suite des nombres

OÙ J'o est un nombre quelconque. Ce procédé de calcul de la racine par approximations successives est appliquable à l'équation de Kepler Il — esin u — ni, où u est l'inconnue, et e un nombre inférieur à l'unité.

Exercices sur les applications géométriques.

116. Écrire l'équation de la tangente en un point M de la courbe représentée par y^ = x^ ; cette tangente rencontre la courbe en un point N autre que le point de contact; déterminer les coordonnées du point N en fonction de celles du premier, M .

117. Déterminer l'équation d'une tangente à une ellipse rapportée à ses axes, connaissant le coefficient angulaire m de cette tangente; montrer qu'elle est de la forme

y = mx =t y/a^m^ -1-7»* ;

déduire de là les coefficients angulaires des tangentes à l'ellipse passant par un .point donné de coordonnées Xq , y^ , et trouver le lieu des points d'où Ton peut mener à la courbe deux tangentes rectangulaires. Même question pour l'hyperbole et pour la parabole.