EXERCICES SUR LES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES S

127. Démontrer que Téquation PQ = /c, où P et Q sont des fonctions linéaires de x et i/, et A: une constante, représente une hyperbole dont les asymptotes sont P = 0 et Q = 0.

128. Construire la courbe définie par les équations a? = asin-— -» 2/ = 6sin27r — — -

où l est un paramètre variable, et former Téquation de cette courbe; déterminer les directions et les longueurs de ses axes en cherchant le maximum ou le minimum de x^ -^y^ .

129. Une droite de longueur constante se déplace de façon que ses extrémités restent sur Oa; et sur Oy ; démontrer que le lieu d'un point particulier de cette droite est une ellipse.

130. On appelle podaire d'une courbe par rapport à un point le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées de ce point sur les tangentes à la courbe ; déterminer la podaire d'une conique par rapport à un de ses foyers, celle d'une ellipse par rapport à son centre, celle d'une hyperbole équilatère par rapport à son centre, celle d'une circonférence par rapport à un de ses points ; transformer en coordonnées polaires les équations des courbes obtenues, et les construire.

131. Former l'équation du lieu des points d'un plan dont le produit des distances à deux points fixes de ce plan est constant ; construire la courbe obtenue.

132. Une circonférence variable est constamment tangente à l'axe des X au point 0 ; on joint un point fixe de l'axe des x au centre de cette circonférence ; former l'équation du lieu des points de rencontre de la droite ainsi tracée et de la circonférence ; ce lieu s'appelle une strophoïde ; construire cette courbe.

133. Le sommet d'un angle droit se déplace sur une droite ou sur une circonférence données ; l'un de ses côtés passe par un point lixe ; démontrer que l'enveloppe de l'autre côté est une conique ayant pour foyer le point fixe.

134. Trouver l'enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités s'appuyent sur deux droites rectangulaires.

135. Montrer que l'enveloppe d'une droite telle que le produit des distances de deux points fixes à cette droite a une valeur donnée est une conique ayant pour foyers les deux points fixes.

592 EXERCICES

136. L^enveloppe des polaires des points d'une courbe par rapport à un cercle ayant pour centre Torigine est une autre courbe qui est appelée polaire réciproque de la première par rapport au cercle: montrer que la polaire réciproque d'une conique est une autre conique et que la polaire réciproque de cette deuxième conique est identique à la première ; déterminer en particulier la polaire réciproque d'une circonférence.

137. Déterminer Fenveloppe d'une droite représentée par Téquation

a; sin cp — y cos ç» = cos 2cp , où 9 est un paramètre variable.

138. Déterminer plus généralement Tenveloppe d*une droite représentée par Téquation

x sin ç — y cos ç = /"((p) ;

montrer que Ta dérivée de cette équation représente la normale à l'enveloppe au point de contact de la droite donnée ; calculer les coordonnées d'un point de l'enveloppe, le rayon de courbure et les coordonnées du centre de courbure en ce point en fonction du paramètre ç .

139. On considère sur une courbe donnée un certain sens de parcours, et l'on compte les arcs de la courbe positivement s'ils sont décrits dans ce sens, négativement s'ils sont décrits dans le sens opposé ; en un point de la courbe, de coordonnées ar, y, on mène la demi-tangente dans le sens choisi et l'on désigne par a l'angle qu'elle fait avec X)x ; montrer que les différentielles de x et y sont' toujours liées à la différentielle de l'arc par les formules

dx = ds cos OL, dy = dssm(x,

140. Déterminer les coordonnées du centre de courbure et le rayon de courbure en un point d'une ellipse en fonction des coordonnées de ce point ou en fonction du paramètre angulaire qp ; examiner le cas particulier où le point donné est l'un des sommets de la courbe ; montrer que si A et B sont les sommets de l'ellipse situés sur Oa: et Oy , et C le dernier sommet du rectangle construit sur OA et OB , la perpendiculaire abaissée de C sur AB rencontre les axes aux centres de courbure des points A et B.

141. Déterminer le centre et le rayon de courbure en un point d'une parabole; montrer que le rayon de courbure est égal à — ^» N

désignant la longueur de la normale au point considéré comptée jusqu'à l'axe et p le paramètre de la courbe; déterminer la développée de la parabole.

EXERCICES SIR LES APPLÎCATIONS CÉO MÉTRIQUES 593

142. Quelle est la caustique par réflexion d'une parabole pour les rayons parallèles à Taxe? pour les rayons perpendiculaires à l'axe?

143. Ëtant donnée une courbe C el un point lumineux L, on considère le rayon réfléchi ayant pour point d'incidence un point M de la courbe ; soit Q le symétrique du point L par rapport à la tangente en M à la courbe C et soit C le lieu du point Q lorsque M varie ; montrer que le rayon réfléchi en M est normal au point Q à la courbe C Pour simplifier le raisonnement, on pourra supposer le point L à l'origine et la courbe C définie comme l'enveloppe d'une droite représentée par l'équation du n° 138; il résulte de là que la caustique par réflexion de la courbe C pour les rayons issus de L est la développée de la courbe C