Déterminer la développée de la chaînette

145. Déterminer la tangente et la normale en un point d'une cycloïde ; montrer que la normale passe par le point de contact du cercle générateur avec la base de la courbe ; déterminer le centre et le rayon de courbure en un point de la cycloïde, ainsi que la développée de cette courbe ; montrer que cette développée est une cycloïde égale à la première.

146. Soit AM un arc d'une circonférence, ayant pour origine un point fixe A et pour extrémité un point variable M de cette courbe ; sur la tangente en M et dans le sens MA, on porte une longueur MP égale à l'arc MA ; le lieu du point P, lorsque M varie, s'appelle développante de cercle ; en supposant que l'origine des coordonnées soit le centre de la circonférence et que l'axe des x passe par A , exprimer en fonction de l'arc AM les coordonnées du point P ; montrer que le point M est le centre de courbure de la développante au point P.

147. Déterminer le rayon de courbure en un point de la spirale logarithmique.

148. Démontrer que la circonférence tangente en un point M d'une courbe à la tangente MT en ce point, et passant par un point voisin M' de la courbe, a pour limite le cercle de courbure au point M lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M ; déduire de là

que le rayon de courbure en M est la limite du rapport » WF

étant la distance du point M' à la tangente MT.