n(nH-l) 1.2.3 ... n{n-\,\Y

48 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

Le second membre de cette inégalité renferme le produit du dernier

terme conservé . ^ .^ par les termes d'une progression géomé-

triaue r H- 7 tt^ H- . . . dont la somme est

^ n-hl (/i-hl)^

i * fi

on a donc R -<

n-hl

ce qu'on peut encore écrire, en désignant par 6 un nombre inférieur à 1,

42. Avant d'appliquer ce résultat au calcul de la somme de la série, nous allons nous en servir pour démontrer ce théorème:

Le nombre e est irrationnel.

Supposons qu'il n'en soit pas ainsi, et que e soit égal à une

fraction irréductible -: mettons en évidence la somme des 71 -f- i pre-

miers termes et le reste correspondant, et écrivons ."•=, + 4.+ !+...+ 1.16

Multiplions les deux membres par 1.2.3 ... n; nous obtiendrons partout des produits entiers, sauf au dernier terme, et nous aurons une égalité de la forme

où M et M' sont des entiers; une telle égalité est impossible, car — est

une fraction non nulle et inférieure à un ; e ne peut donc être égal à une fraction ; il est par suite irrationnel.

43. Nous allons calculer une valeur approchée de e avec un certain nombre de chiffres décimaux exacts, par exemple deux. Il faut prendre n assez grand pour que Terreur commise en négligeant le

LA SÉRIE e ET LA FONCTION C* 49

reste R, jointe à celle que Ton obtient en substituant aux premiers

termes des valeurs décimales approchées, donne une somme inférieure

à un centième.

Or, si Ton prend n = 5 , on a sûrement, d'après ce que nous avons

dit au n° 41, ï^<^7j7vî d'autre part la somme des termes jusqu'à

nr=:5 est

Les trois premiers sont exactement convertibles en nombres décimaux, mais il n'en est plus de même des trois autres; en calculant ces derniers avec trois chiffres décimaux exacts par défaut, on commet sur chacun d'eux une erreur inférieure à un millième et sur leur somme une erreur au plus égale à trois millièmes. L'erreur totale? commise sur la somme de la série est alors inférieure à

et elle est bien inférieure à un centième.

Nous aurons donc la valeur cherchée en calculant les six premiers termes de la série e à un millième près par défaut ; la somme de ces valeurs est

nous sommes certains que le nombre e est compris entre 2,715 et 2,720. Sa valeur avec cinq chiffres décimaux exacts par défaut est

44. Fonction e*. — On appelle fonction exponentielle une expression de la forme a^; où a est un nombre positif, et x un nombre qui peut prendre des valeurs quelconques. Les valeurs de la fonction a' pour les valeurs de x entières ou fractionnaires, positives ou négatives, résultent des définitions données dans le chapitre IV; ses valeurs pour X irrationnel seront définies plus loin.

La fonction exponentielle qui joue le rôle le plus important en analyse est celle pour laquelle a est égal au nombre e précédemment défini; c'est la fonction e*.

VocT. — Math. sup. 4

50 COMPLÉMENTS d\\LGÈBRE

Le calcul de sa valeur pour x entier ou fractionnaire, positif ou négatif, nécessite l'élévation à une puissance ou l'extraction de la racine d'un nombre irrationnel, et le résultat ne peut jamais être obtenu exactement. Nous allons remplacer ce calcul par celui de la somme d'une série, ce qui est beaucoup plus pratique, car il suffît de déterminer un petit nombre de termes pour obtenir une valeur très approchée de cette somme.

Nous démontrerons que la valeur de e*, pour x entier ou fractionnaire, positif ou négatif, est égale à la somme de la série

Nous allons voir d'abord que cette série est convergente. Si a est la valeur absolue de x, la somme des valeurs absolues des termes de la série, c'est-à-dire la série des modules, est

et nous avons démontré au n° 35 qu'elle est toujours convei^enle ; il en est alors de même de la série e' l'n** 38 .

Pour calculer une >aleur approchée de e', on néglige les termes dont le rang dépasse un certain nombre convenablement choisi, et l'on fait la somme des valeurs approchées de ceux que l'on conserve. Supposons qu'on s'arrête au terme qui renferme x" : le reste correspondant de la série est