AB) = — (BA

On appelle quelquefois recteur un segment dont on donne la direction et la longueur, mais dont l'origine reste indéterminée dans l'espace.

65. Contour polygonal. — On dit que des segments placés d'une manière quelconque dans l'espace sont consécutifs si l'extrémité de l'un est en même temps l'origine du suivant ; leur ensemble constitue un contour polygonal \ on appelle origine et extrémité de ce contour l'origine du premier segment et l'evtrémité du dernier. Le segment rectiligne qui a le premier de ces deux points comme origine et l'autre comme extrémité s'appelle la résultante du contour; les segments donnés en sont les composantes.

Lorsque tous les segments sont situés sur une même droite dirigée, on a le théorème suivant énoncé par Ghasles :

La valeur algébrique de la résultante d'un contour est égale à la somme des valeurs algébriques des composantes.

Pour le démontrer, considérons d'abord deux segments composants AB, BG dont la résultante est "-^ ^ ^ ^ AC ; différents cas peuvent se présenter suivant l'ordre de succession des Fig. 3. points sur l'axe qui les porte. Suppo-

sons d'abord qu'ils soient placés dans l'ordre A, B, C en suivant le sens positif [fig. 3) ; dans ce cas les valeurs algébriques des segments sont toutes trois positives, et comme la valeur arithmétique de AC est égale à la somme des valeurs arithmétiques de AB et de BC, on a entre les valeurs algébriques la relation

(AC) = (AB) -h (BC) .

Prenons maintenant un autre cas, et supposons que Ton rencontre les points dans Tordre A, C, B , , ^ [fîg, 4) ; d'après ce que nous venons

A. C B de voir, on a

Fig- *• (AB) = (AC) -h (CB) ;

mais (CB) peut être remplacé par — (BC) , et Ton a alors

(AB) = (AC)~(BC), ou bien

(AC) = (AB) -h (BC) .

On examinerait de même les autres cas de figure, et Ton verrait que le théorème subsiste dans chacun d'eux.

Nous démontrerons que la proposition s'applique à un nombre quelconque de segments en montrant que si elle a lieu dans le cas de n segments AB, BC, CD, . . ., HK, elle est encore vraie lorsqu'on ajoi\te un [n-\-\)* segment KL. Nous avons en effet avec deux composantes AK et KL,

(AL) = (AK) -h (KL) ; mais nous supposons que Ton a déjà démontré la relation

(AK) = (AB) -f- (BC) + ... +(IIK);

il suffît alors de remplacer AK par la somme précédente dans la première égalité pour avoir

(AL) = (AB) -f- (BC) + ... -+-(lïK)-f-(KL),

ce qui démontre le théorème pour fi-f- 1 segments ; il est ainsi vrai dans tous les cas.

En particulier si l'on donne sur une. droite dirigée deux points A et B, et un point 0, la valeur du segment AB peut s'exprimer ai moyen des segments OA et OB par la relation