AB) = (OB) — (OA

66. Protection d*un segment. — Ëiant donnés une droite indéfinie

x'x et un plan P non parallèle à cette droite {fig. 5^ , on appelle projection d'un point A sur la droite, parallèlement au plan, le point d'intersection a de x'x et d'un plan mené par A parallèlement au plan P; suivant que le plan est perpendiculaire ou non à la droite, on dit que la projection est orthogonale ou oblique.

On appelle projection d'un segment AB le segment ah dont l'origine et l'extrémité sont les projections de l'origine et de l'extrémité du segment considéré. Ordinairement la droite x'x est une droite dirigée, et on l'appelle alors axe de prcyeclion ; la valeur algébrique de ab est appelée valeur algébrique de la projection de AB, ou simplement projection de AB, ce que Ton écrit

proj. AB = {ab).

Fig. 5.

67. Tliéorème des projections. — La projection sur un axe de la résultante d'un contour polygonal est égale à la somme des projections des composantes.

Considérons un contour ABCDE {fig. 6) et sa résultante AE ; soient (afe), (6c), (cJ), [de) et {ae) les projections des composantes et de la résultante ; d'après le théorème de Chasles, on a

(^ae)=[ab)-h{bc)-\'(cd)-i-{de)i

on en conclut immédiatement, d'après la définition des projections,

e b Fig. 6.

de

(l) proj. AE = proj. AB-hproj. BC-f-proj. CD-l-proj. DE, ce qui démontre le théorème.

68. Des angles dans le plan. — De la même manière qu'on définit la valeur algébrique d'un segment parcouru sur une droite dans un certain sens, on définit la valeur algébrique d'un angle décrit autour d'un point 0 dans un certain sens de la façon suivante : on choisit autour de ce point un sens positif de rotation, ordinairement le sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre ; si une droite dirigée passe d'une position OA à une position OB en tournant autour de O, on appelle valeur algébrique de Tangle décrit un nombre dont la valeur arithmétique est la mesure de cet angle, et dont le signe est H- ou — suivant que le mouvement a lieu dans le sens positif ou dans le sens contraire.

La valeur algébrique de Tangle ainsi décrit, que Ton appelle angle de OB avec OA, est désignée par la notation (OA, OB) ; tous les autres angles que l'on peut former en amenant une droite dirigée d'abord confondue avec OA dans la position OB, soit dans un sens, soitdans l'autre, ont des valeurs algébriques qui ne diffèrent de la première que par un multiple entier de 2::, positif ou négatif.

Ëtant donnés plusieurs angles consécutifs autour du point 0, tels que le côté extrémité de l'un soit le côté origine du suivant, on appelle angle résultant celui qui a pour côté origine l'origine du premier et pour côté extrémité l'extrémité du dernier. Par un raisonnement analogue à celui du n° 65, on verrait que l'angle résultant est, à un multiple entier près de 27r, égal à la somme algébrique des angles composants, ce qui s'exprime par la formule

(OA, OK) = (OA, OB) -f- (OB, OC) -f- • • • -h (OH, OK) + 2k-K .

En particulier si l'on considère deux droites dirigées OA, OB, et si l'on donne les angles de ces droites avec un même axe de repère OX, l'angle de OB avec OA est donné, à un multiple près de 2?:, par la formule