CD
on effet, les valeurs absolues de ces rapports sont égales d'après un théorème connu de géométrie ; il suffît de montrer que les signes sont les mêmes ; or si AB et CD ont le même sens, il en est de même de ah et cdy et les numérateurs ont le même signe, ainsi que les dénominateurs ; si au contraire AB et CD ont des sens opposés, il en est de même de leurs projections, de sorte que les numérateurs ont des signes contraires, ainsi que les dénominateurs ; dans tous les cas les rapports ont le même signe, ce qui achève de démontrer la proposition.
Supposons que CD soit un segment dont la longueur est égale à
runité, et dirigé dans le sens positif; on l'appelle quelquefois segment directeur. On a (CD) :=-f- 1 , et Téquation (2) nous donne
pr. AB = (AB) . (pr. CD) ;
on voit qu'on obtient la projection d'un segment en multipliant sa valeur algébrique par un facteur qui dépend simplement des deux axes x'x et y'y et qui est la projection du segment directeur.
Dans le cas des projections orthogonales, on sait que la projection d'un segment égal à Tunité placé sur y'y est égal au cosinus de Tangle des deux axes x'x, y'y ; on a donc
(3) pr. AB = (AB) X cos {x'x, y'y) ,
ce que nous énoncerons de la façon suivante :
La projection orthogonale sur un axe d'un segment parallèle à un deuxième axe est égale au produit de la valeur algébrique du segment par le cosinus de Vangle des directions positives des deux axes.
et -:
70. Des segments dans le plan. — Soient dans un plan deux axes de projection rectangulaires x'x, y'y , se coupant en un point 0 [fig. 8) ;
nous convenons une fois pour toutes que pour définir la valeur algébrique de l'angle d'une droite dirigée OD avec Ox, c'est-à-dire le nombre (Ox, OD), on prend comme sens positif de rotation celui du mouvement qui amènerait une droite confondue avec O-r à coïncider avec O^y en décrivant un
angle égal à — •
Dans les cas, assez rares, où l'on doit définir l'angle [Oy, OD) de la même droite avec Oy , on convient de prendre cette fois comme sens positif celui de la rotation qui amènerait une droite confondue avec Oy à coïncider avec Ox
en décrivant l'angle — ; le nouveau sens est donc inverse du premier.
Avec ces conventions, les angles (Oj, OD) et (0,y,OD) sont toujours complémentaires, à un multiple près de 2::.
VoGT. — Math. sup. 6
Fig. 8.
Tout point du plan tel que A est complètement déterminé par ses projections orthogonales a, a' sur les deux axes ; de la même manière, tout segment est déterminé par ses projections sur x'x et y' y , puisque l'on connaît les projections de son origine et de son extrémité. Nous nous proposons d'établir les relations qui existent entre les valeurs algébriques d'un segment et celles de ses projections ; ces relations restant les mêmes lorsque Ton transporte le segment parallèlement à lui-même, il nous suffira de considérer le cas où le segment a son origine au point de rencontre 0 des deux axes.
Soit D une droite dirigée indéfinie passant par 0, sur laquelle est pris un segment OA ; désignons par p la valeur algébrique de ce segment, par a Tangle (Oj:,OD) et par p l'angle (Oy,OD), enfin par X et Y les projections de OA sur les axes. OA est la résultante d'un contour OcrA dont les composantes ont pour valeurs algébriques X et Y.
En appliquant la formule (3) aux projections de OA sur x'x et y' y , nous avons les relations
(4) X = p cos a , Y = p cos p ;
de plus, le triangle rectangle Or/A nous fournit l'équation
nous en déduisons, en remplaçant X et Y' par leurs valeurs, la relation
cos- a
cos"-* p
Comme a et ft sont complémentaires, cette relation n'est autre au fond que l'équation fondamentale cos-^ a -f- sin* a := 1 ; nous la mentionnons cependant parce que nous en verrons bientôt la généralisation.
Les segments X et Y déterminent géométriquement le segment OA d'une seule manière, mais algébriquement de deux façons ; l'équation (5) nous donne en effet pour p deux valeurs égales et de signes contraires ; à la valeur positive p = H- v/X=^ -h Y=* correspondent pour a et S des valeurs fournies par les équations
COS a
COS ô =
ces valeurs, qui sont celles du cosinus et du sinus de Tangle a, déterminent une seule droite dirigée OD ; à la valeur négative p = — y/X* -h Y* correspondent pour cos ot et cos p des valeurs égales auv précédentes et de signes contraires, et elles déterminent la direction opposée. Les deux solutions que Ton obtient correspondent aux deux choix que Ton peut faire du sens positif sur la direction indéfinie OA.
71. Projection d*un segment sur une droite dirigée. — Angle de deux directions. — Soient [fig. 9) OA un segment donné sur une droite dirigée OD, et OA' sa projection sur une seconde droite dirigée
01)'. Nous désignons par p la valeur aljijébrique de OA, par X et Y ses projections sur les axes Ox et 0,y, par a et p les angles de OD avec ces axes et par a' et p' les angles de OD' avec les mêmes axes ; nous nous proposons d'évaluer la projection de OA sur OD'.
Nous avons vu que OA est la
résultante d'un contour OcrA dont
les composantes Oa et a A ont pour
valeurs algébriques X et Y; d'après le théorème des projections (n° 67),
la projection de OA sur OD' est égale à la somme des projections
de Oa et ak sur cette droite dirigée ; mais nous avons
pp. Oa = (Oa) cos (Oj-, OD) = X cos a', pr. aA = (aA) cos (0^ , OD') = Y cos fl' ;
nous aurons par suite, en additionnant, la formule fondamentale que nous voulions établir.
Fig. 9.
pr. OA sur OD' = X cos a' -f- Y cos p'.
Remarquons que cette formule est encore vraie pour un segment quelconque égal et parallèle à OA projeté sur une droite dirigée quelconque parallèle à OD'.
Nous allons déduire de là le cosinus de l'angle des deux directions OD et OD'; si nous désignons cet angle par V, nous avons
pr. OA sur OD' = s cos V ;
d'autre part X et Y sont respectivement égaux à p cos a et p cos p ; en introduisant ces valeurs dans la formule {S\ et divisant les deux membres par p, nous avons
(i)) cos V = cos 7. cos X — cos p cos p'.
Remarquons que V est égal à % — z, et que ^ et p' sont égaux à [' — a et -^ — ol'j à des multiples près de 2x ; la formule (9) nous
donne par suite la relation
cos (a' — a) = cos « cos a' -h sin a sin x'
et le changement de z en — a nous fournit la formule fondamentale d'addition des arcs en trigonométrie. Les raisonnements que nous avons employés sont du reste identiques à ceux que Ton fait pour établir cette formule fondamentale.
72. Des seginents dans Tespace. — Nous allons généraliser dans l'espace les considérations précédentes ; nous considérons trois axes
de projections x'x, y' y, z'z se coupant en un même point 0 et formant un trièdre trirectangle [fig. 10). Un point A est complètement déterminé par ses projections orthogonales a, a', a" sur les axes, car il se trouve à rintersection de trois plans menés par ces points parallèlement aux faces du trièdre Oxyz ; il résulte de là qu'un segment quelconque de Tespace est conr.plètement déterminé par ses projections orthogonales sur les trois axes, car on peut construire son origine et son extrémité. Nous ne considérerons dans ce qui suit que des segments ayant pour origine le point 0 de rencontre des axes. Soient D une droite dingé<^ issue de ce point, a, p et y les
Fig. 10.
:angles de OD avec Ox, Oy et Oz ; soit OA un segment dont la valeur algébrique et les projections sur les axes sont respectivement ^ , X , Y et Z ; nous avons d'après la formule (3)
(10) X = pcosa, Y = pcosp, Z = pcosY.
D'autre part, OA peut être considéré comme la résultante d'un <»ontour OflfliA dont les composantes égales et parallèles à Oa, Oa\ Oa" , sont égales à X , Y , Z ; c'est de plus la diagonale d'un parallélipipède rectangle dont Oa , Oa', Oa" sont trois arêtes, et nous avons
OA =Oai-l-aiA =0a -hacii-hUiX , c'est-à-dire
<11) p2 = X*-hYM-Z2;
nous en déduisons, en remplaçant X, Y, Z par leurs valeurs, la relation suivante analogue à l'équation (6),
(12) cos* a H- cos^ P -h cos^ Y = 1 .
Les segments X, Y, Z déterminent géométriquement OA d'une -seule manière, mais algébriquement de deux, parce que l'on peut •choisir de deux manières le sens positif sur la droite indéfinie OA; on a
p = ±:V/X^-f-Y'^-hZS
cos a = — »
cos p == —
cos Y =
il chaque signe pris devant le radical correspondent pour a, p, y ^^^
valeurs détenninant une seule droite dirigée ; aux deux signes correspondent des directions opposées.
73. Projection d*un segment sur une droite dirigée. — Angle de deux directions. — Soient {fie/. 11) OA un segment donné sur une droite dirigée OD, et OA' sa projection sur une autre droite dirigée OD' ; dési- Pig 41 gnons par p la valeur algébrique de
OA, par X,Y,Z ses projections sur les axes Ox, Oy , Oz, par a, p, y les angles de OD, et par a', ,8', y'
ceux de OD' avec ces axes ; nous nous proposons de déterminer la projection de OA sur OD^
Comme nous Tavons vu, OA est la résultante d'un contour OariiX dont les composantes ont pour valeurs X , Y et Z ; d'après le théorème des projections, nous avons
pr. OA = pr. Oflf H- pr. aoi -f- pr. ^|A ;
mais nous savons que l'on a, en projetant sur OIV,
pr. Oa = (Oa) cos (Ox, OD^ = X cos x\ pr. aai = (a«i) cos {Oy , OD') = Y cos p\ pr. «,A = («lA) cos (Oz, OD') = Z cos y' ;
nous en déduisons la formule fondamentale que nous voulions établir, (13) pr. OA sur OD' = X cos a' -h Y cos p' -f- Z cos / .
Remarquons que cette formule est encore vraie pour un segment quelconque égal et parallèle à OA projeté sur une droite dirigée quelconque parallèle à OD' .
Nous allons déduire de là l'angle des deux directions OD et 0D\ angle que nous désignerons par V ; nous savons que l'on a
pr. OA sur OD' = p cos V ;
d'autre part X, Y, Z ont pour valeurs, d'après les formules (10), pcosa, pcosp et pcosy; en introduisant ces valeurs dans l'équation
(13) et divisant les deux membres par p, nous avons la fonnule cherchée,
(14) cos V ^^ cos x cos a' -h cos ,8 cos p' -h cos y cos y' ;
elle a, comme on le voit, la même ç,! forme que la formule (9).
