Somme géoméliique

Étant donnés plusieurs segments issus d'un même point (), tels que OA, OB, OC {fig. 12;, on appelle somme -géométrique -de ces segments la résultante d'un contour polygonal dont j,'j j2. ^^s composantes sont égales et paral-

lèles aux segments donnés. Pour la déterminer, on prend à partir de rextrémité d'un premier segment

OA un segment AB' égal et parallèle à OB, puis à partir de B' un segment B'C égal et parallèle à OC ; OC est la somme cherchée.

Nous allons déterminer cette somme en évaluant ses projections sur trois axes rectangulaires Ox, 0^, Oz passant par le point 0; chacune d'elles est égale à la somme des projections des composantes sur le même axe, mais les projections des composantes sont précisément égales à celles des segments donnés OA, OB, OC. Si nous désignons les projections de OA sur les axes par Xi, Yi, Zi, celles de OB par X2, Y2, Zi, celles de OC par X3, Y3, Z3 et celles de la somme par X,Y, Z, nous avons, en projetant successivement sur Oar, Oi/ et Oz les composantes du contour et sa résultante, les trois équations

^ X = X| H— X2 "4 ■ X3 = 2«Xi , (15) Y=Y,-4-Y2-f-Y3=2Y,,

( Z = Z, + Z2^Z3 = 2Zi.

Les valeurs de X, Y, Z ainsi trouvées permettent de déterminer la somme géométrique cherchée soit géométriquement soit analytiquement ; la grandeur de la somme est donnée par l'équation

et sa position est déterminée par les équations

cos a = — , cos B = — , cos y = —

Comme les seconds membres des équations (15) ont la même valeur quel que soit Tordre des termes dont on fait la somme, nous en concluons que la somme géométrique de plusieurs segments est indépendante de Tordre de succession des composantes du contour polygonal dont elle est la résultante.

On dit que la somme de plusieurs segments est nulle lorsque la résultante du contour qui sert à la déterminer est nulle ; ce contour est alors fermé ; pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que p soit nul, mais cela ne peut se produire, d'après Téquation (10), que si X, Y et Z ou bien 2Xi,2Y| et 2Zi sont séparément nuls; on voit donc que les conditions nécessaires et suffisantes pour que la souinie des

segments donnés soit nulle sont exprimées par les trois équations

2X1 = 0, 2Yi = 0, 2Z, = 0.

Les considérations précédentes s'appliquent mot pour mot à la somme de plusieurs vecteurs, à la composition des forces concourantes,

à celle des vitesses, etc.

75. Projection d'une aire plane. — La projection orthogonale sur an plan P crune aire polygonale contenue dans un plan P' est égale au produit de cette aire par le cosinus de l'angle aigu formé par les deux plans.

Nous allons démontrer ce théorème dans le cas d'un triangle ABC {fîg. 13) dont la base BC est parallèle au plan P de projection; sa

hauteur AU est une ligne de plus grande pente du plan P' du triangle, et se projette suivant la hauteur ah du triangle projection abc ; en écrivant que l'on a