CHAPITRE III

COORDONNÉES DANS LE PLAN

76. Coordonnées cartésiennes. — Chaque état d'une grandeur mesurable dont la valeur ne peut être comptée que dans un seul sens, comme une masse ou une pression barométrique, est complètement caractérisé par la mesure de cette grandeur au moyen d'une unité donnée.

D'autres grandeurs mesurables sont susceptibles d'être comptées dans deux sens opposés, par exemple les longueurs parcourues par un mobile se déplaçant sur une droite à partir d'un point donné dans un sens ou dans l'autre, les intervalles de temps comptés à partir d'un instant initial, etc. Chaque état d'une pareille grandeur est complètement caractérisé par le nombre qui la mesure et par le sens dans lequel elle est comptée ; ces deux caractères peuvent être réunis en un seul nombre algébrique dont la valeur arithmétique est la mesure de la grandeur et dont le signe est -h ou — suivant le sens de la grandeur.

Nous ne nous occuperons que des grandeurs dont chaque état est ainsi caractérisé par un nombre arithmétique ou un nombre algébrique. Les plus simples sont les segments comptés sur une droite dirigée, à partir d'une même origine. En raison même de la simplicité de leur étude, où le calcul trouve une aide commode dans la représentation géométrique, on est amené à représenter les divers états d'une grandeur ou les nombres qui les caractérisent parles points d'un axe delà façon suivante :

Sur une droite dirigée x'x [ficj. 14), on prend une origine 0 ; à

COORDONNÉES DANS LE PLAN

Fig. 13.

tout nombre algébrique a correspond, à une échelle déterminée, un

seul segment OA, et un seul point «' O A OT A de Taxe qui est l'extrémité de ce

segment; inversement, à tout point A de x'x correspond un seul nombre algébrique qui est la valeur du segment OA ; ce nombre est appelé ïabscisse du point A.

Considérons maintenant deux grandeurs dépendant Tune de l'autre,

de façon qu'au nombre a caractérisant la première corresponde le nombre b caractérisant la seconde ; prenons deux axes ^x, y^y se coupant en un point 0 [fig. 15) ; choisissons sur chacun d'eux ce point comme origine et les sens Ox, Oy comme sens positifs. Aux nombres a et b correspondent sur x'x un point A et sur y'y un point B tels que (OA) = a , (OB) = b; si nous menons par ces points des parallèles aux axes, elles se coupent en un seul point M.

Inversement, à tout point M du plan, les parallèles aux axes, MA et MB, font correspondre un seul point A sur x'x et un seul point B sur y'y ^ et par suite un seul système de deux nombres algébriques a, b qui sont les valeurs des segments OA et OB. Ces deux nombres sont appelés les coordonnées du point M; le premier est dit ïabscisse et est souvent représenté par x, le deuxième est dit y ordonnée et est souvent représenté par y ; les deux axes sont appelés axes de coordonnées, le premier, axe des x et le deuxième, axe des y. Les coordonnées que nous venons de définir sont dites ccrr/esiennes, du nom de Descartes qui en a fait usage le premier ; elles sont dites rectangulaires ou obliques suivant que les axes sont perpendiculaires ou non ; nous n'emploierons que des coordonnées rectangulaires, sauf dans des cas tout à fait particuliers ; nous ferons remarquer que les échelles de longueurs adoptées sur les deux axes peuvent être différentes Tune de l'autre dans la représentation graphique des grandeurs ; on les suppose cependant identiques en géométrie analytique.

77. Usage des coordonnées. — Représentation des lignes. — Nous examinerons les différents cas suivants :

1*' Cas. — On donne une relation entre deux variables x et y j qui sont par exemple les mesures correspondantes de deux grandeurs dépendant Tune de l'autre. Supposons que cette relation soit

nous donnerons à x une suite de valeurs particulières et nous calculerons les valeurs correspondantes de y ; nous en formerons un tableau tel que le suivant :

et nous construirons les points dont les coordonnées sont les couples de valeurs correspondantes ; une feuille de papier quadrillé dont Técar-

tement des traits représente Tunité de longueur peut être employée avantageusement pour cet usage.

Nous construirons ainsi [fig, 16) les points A, B, C, D , E , F , G ; nous pourrions en obtenir autant d'autres que nous voudrions en donnant à X des valeurs intermédiaires ou bien plus grandes que celles du tableau ; nous vérifierions sans peine qu'à des valeurs de x très rapprochées, par exemple croissant de centième en centième, correspondent des valeurs de y très rapprochées, et nous concevons que si x varie d'une valeur à une autre en passant par toutes les valeurs intermédiaires, les points obtenus constitueront une ligne continue ; nous sommes ainsi amenés à faire passer un trait continu aussi régulier que possible par les points A, B, C, D, E, F et G. Cette ligne, dont on peut trouver exactement»

Fig. 16.

COORDONNÉES DANS LE PLAN 93

comme nous l'avons dit, autant de points que l'on veut, représente graphiquement Téquation donnée ou la loi dont elle est la traduction.

2* Cas. — Pour rechercher inversement la formule qui régit un phénomène, par exemple la variation du coefficient de solubilité d'un sel avec la température, on fait un certain nombre d'expériences, on note chaque fois les mesures correspondantes des deux grandeurs dont on étudie la dépendance, puis on marque sur un papier quadrillé les points dont ces couples de valeurs sont les coordonnées.

Comme nous avons le sentiment que les phénomènes naturels sont régis par des lois simples, et que les effets doivent varier d'une manière continue si les causes varient elles-mêmes d'une manière continue, nous sommes amenés à représenter par un trait continu la relation que nous cherchons. Si les mesures des grandeurs sont faites rigoureusement, ce trait doit passer par tous les points déterminés ; mais nous ne sommes jamais certains de l'exactitude absolue des mesures, et nous supposons toujours qu'elles peuvent présenter de petites erreurs dont les limites dépendent des instruments employés ; nous sommes ainsi conduits à tracer une ligne continue aussi régulière que possible passant par les points obtenus ou s'en écartant très peu, et nous disons qu'elle représente la loi cherchée de la façon la plus probable. Nous concevons même qu'elle la représente plus exactement que les expériences et que si un des points s'écarte trop du trait régulier, c'est que l'expérience qui l'a fourni est entachée d'une erreur trop considérable.

La ligne représentative de la loi d'un phénomène est quelquefois tracée automatiquement par un appareil enregistreur, et c'est ce qui arrive en particulier lorsque l'une des grandeurs variables est une longueur ou le temps.

Lorsque Ton a ainsi construit la ligne représentative d'une loi, on peut s'en servir pour rechercher l'expression analytique de cette loi ; c'est l'équation qui relie les abscisses et les ordonnées des points de la courbe. On écrit pour cela une équation entre x et y , de la forme la plus probable, et dont les termes renferment des coefficients encore indéterminés ; on écrit que cette équation est satisfaite par les valeurs numériques des coordonnées d'un certain nombre de points de la courbe et l'on a de cette façon des relations qui permettent de calculer les coefficients laissés indéterminés.

PRINCIPKS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQLK

Lorsqu'ils sont tous connus, et qu'on a trouvé entre x et y une équation dont tous les coefficients sont déterminés numériquement, on construit inversement, pour toutes les valeurs possibles des coordonnées, la courbe représentée par cette relation, et l'on vérifie si elle est sensiblement identique à la courbe donnée ; si elle s'en écarte trop dans certaines de ses parties, on change la forme de l'équation choisie entre x et y, ou bien Ton ajoute des termes correctifs à l'équation déjà formée. C'est ainsi que l'on opère dans les sciences expérimentales, par exemple dans Tétude des dilatations, de la conductibilité, etc.

3* Cas. — Nous venons de voir que toute équation entre x et y donne lieu à une ligne dont tous les points ont des coordonnées satisfaisant à cette équation. Inversement, si Ton considère une ligne, telle que la circonférence, la parabole, etc., définie cette fois par une propriété géométrique commune à tous ses points, cette propriété sert à former une équation entre x et y, et l'on dit que cette équation représente la ligne considérée.

Pour donner un exemple, considérons une circonférence de rayon R ayant pour centre l'origine 0 des coordonnées rectangulaires (/î^r. 17) ; soient [OP) = x et [OQ) = y les coordonnées d'un point

quelconque M de cette courbe ;

S/ la relation OP* -F DQ* = OM* nous

donne immédiatement la suivante :

vig. n.

(Ox, OM) dans la figure précédente, on a

c'est l'équation qui représente la circonférence.

Quelquefois on exprime les deux coordonnées de chaque point de la ligne au moyen d'une quantité variable que Ton appelle un paramètre ; en appelant par exemple <p l'angle

X = (OP) — R cos cp , y=.(OQ) = Rsin(p.

Lorsque l'on a deux équations telles que les précédentes, et qu'on

COORDONNEES DANS LE PLAN

en forme une combinaison qui ne renferme plus le paramètre, on dit qu'on élimine ce paramètre ; la nouvelle équation, qui ne renferme plus comme variables que x et y, est Téquation de la ligne. Dans l'exemple précédent, si Ton élève au carré les deux membres des équations (2) et si Ton ajoute, on retrouve Téquation (1).

Les propriétés des lignes définies géométriquement peuvent être mises en évidence par des calculs algébriques effectués sur les équations qui les représentent ; ces calculs sont soumis à des règles simples dont Tensemble constitue la géométrie analytique proprement dite ; c'est ainsi que cette géométrie est l'étude des figures par les procédés de Tanalyse.

78. Ck>nloar des, coordonnées. — Distance de deux points. — Il

résulte de la définition des coordonnées j: et ^ d'un point M {figAH) qu'elles sont identiques aux projections sur les deux axes du segment OM, car ces projections ne sont autres que les deux segments OP et OQ dont les valeurs algébriques sont x et y. Remarquons encore, comme nous lavons fait au n° 70, que OM est la résultante d'un contour OPM dont les composantes sont égales aux segments OP et OQ, c'est-à-dire ont pour valeurs X et y ] ce contour OPM est appelé contour det coordonnées du point M.

Etant donnés deux points M et M' dont les coordonnées sont (r, y) et ix' y y'), les projections sur les axes du segment MM' sont respectivement PP' et QQ' ; mais d'après le théorème de Chasles (n'^Go), on a

(PF) = (OP') — (OP) = x' — X , (QQ')-(OQ')-(OQ)-y-,y;

on peut donc énoncer ce théorème : Les projections d'un segment sur les axes sont respectivement égales à la différence des abscisses et à la différence des ordonnées de Vextrémité et de l'origine de ce segment.

Si Ton remarque que l'on a

uw* = sp! -4- p;w* ^ w -f Qu'*,

% PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE ANALYTKilE

l on trouve, pour calculer la distance d des deux points M et M', la

fonnule fondamentale

en particulier, la dislance du point M à l'origine est égale à \x^-r-}i^'

79. Ordre d*une courbe algébrique. — On appelle courbe algébrique une courbe dont l'équation par rapport à un système d'axes Ox, Oj^ renferme les coordonnées sous un nombre fini de symboles d'opérations algébriques : addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction de racines. En faisant disparaître les radicaux, chassant les dénominateurs et faisant passer tous les termes dans un même membre, on peut toujours ramener Féquation à la forme

ou f est un polynôme entier par rapport à x et ^ ; le degré de ce polynôme s'appelle ordre de la courbe algébrique.

Les courbes qui ne sont pas algébriques sont dites transcendantes. 11 est essentiel de mettre l'équation d'une courbe algébrique sous forme entière pour trouver son ordre ; si Ton considère par exemple la courbe représentée par l'équation

il faut élever d'abord au carré les deux membres, ce qui donne

X hl/^-2\/xy = 1,

puis faire disparaître le dernier radical, ce qui donne

4; (x-f-t/ — 1)^ — 4xi/=:0,

pour rendre Téquation entière ; on voit alors que la courbe qu'elle représente est du second ordre.

Remarquons à ce propos que toutes les valeurs de x et y satisfaisant à l'équation (4) ne satisfont pas à l'équation donnée (3), si l'on } considère les radicaux comme positifs; c'est ce qui a lieu par exemple poiu' X =4, 1/ r^ 1 ; l'équation (3) ne représente qu'une partie de la courbe totale représentée par (4). En géométrie analytique, on considère

COORDONNÉES DANS LE PLAN

toujours la courbe totale représentée par Téquation mise sous forme -entière.

Nous montrerons plus tard que Tordre d'une courbe algébrique est égal au nombre de points de rencontre, réels ou imaginaires, de cette ■courbe avec une droite quelconque ; par exemple la ligne représentée par une équation du premier degré entre .r et y n'est rencontrée par une droite qu'en un seul point ; nous montrerons dans le chapitre sui- Tant qu'elle est une ligne droite ; la circonférence est une ligne du -second ordre et est rencontrée par une droite en deux points.

80. Coordonnées polaires. — On peut utiliser d'autres systèmes <le coordonnées que celui que nous avons indiqué pour déterminer la position d'un point dans le plan ; le plus employé après le système cartésien est celui des coordonnées polaires.

Par un point 0 appelé origine ou pôle (/îg. 19), on fait passer une droite dirigée Ox appelée axe polaire, et Ton choisit un sens positif pour les angles, ordinairement le sens trigonométrique ; pour déterminer un point M , on donne un angle 6 = (Ox, OD) fixant une droite dirigée OD passant par M , et la valeur algébrique p du segment OM sur cette droite ; 6 est appelé angle polaire et p rayon veclear.

En choisissant Oy faisant avec Ox Fangle -h —

nées cartésiennes de M sont

(5) x^pcosO, yrrrpsinô;

inversement, on a

Fig. 49.

les coordon-

cos 6 = —

sm 6 =— •

Ces formules montrent qu'à un point M correspondent plusieurs valeurs des coordonnées polaires ; si pi est la valeur absolue du radical et a l'angle unique compris entre 0 et 27r dont le cosinus et le sinus

sont égaux respectivement à VocT. — Math, sup-

et à

Vx' hy^

tous

PBlMAt'fjy DK •iLfiMLTRIE AXALm'jrE

l#^ s\M«rmes de coonJonnées piilaires du point M sont compris dans If-^ deij\ fornmle>

6^a^ r — 2Ar,

A étant un nombre entier quelconque positif ou négatif.

Toute relation entre s et ^ représente une Dcrne, et réciproquement : par evempie une circonférence ayant un diamètre OA = a dirigé suivant Taxe polaire fig. 20 est représentée par l'équation

s =r a cos b .

Suivant les cas. l'équation d'une courl>e est plus simple dans un système de coordonnées que dans l'autre ; on peut toujours pas>er de l'un à l'autre par les équations 5 ou Ti) : il est du reste nécessaire de former l'équation en coordonnées cartésiennes d'une courbe algébrique lorsqu'on veut se rendre compte de son ordre.

Vifi. 20.