CHAPITRE IV
81. Équation de la ligne droite. — Toute droite est représentée en coordonnées cartésiennes par une équation du premier degré entre les coordonnées x et y d'un quelconque de ses points ; nous allons, pour le démontrer, examiner différents cas successifs.
1° L'axe des y est caractérisé parce fait que Tabscissc de chacun de ses points est nulle ; il est donc représenté par Téquation
de même une parallèle à 0^ est caractérisée par ce fait que tous ses
points ont la même abscisse ; si a est cette abscisse, Téquation de la
droite est
et réciproquement une équation de cette forme représente une droite
parallèle à Oy .
2° Pour les mêmes raisons, Téquation de Taxe des x est «/ =^ 0,
et celle d'une parallèle à cet axe, y =b, b étant l'ordonnée d'un de ses points.
3" Considérons maintenant une droite D passant par l'origine 0 [pg. 21); fixons sur cette droite un sens positif, et désignons par a l'angle que fait avec Ox la direction choisie ; si M est un point de la droite et p la valeur du segment OM, on a
Fig. 21.
a: = pcosa.
y = p sin a ;
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K^'^f/r'>|u*:ai*-nt. *-! y**u4orin*- ^-'-Ar^ x et y uDeei^uatioD linéaire H houto^^ftài: ou I*-* c'j^fîi''î''rjt> d'-s «i*-!!! ^aria:«îes ne >ont nuls ni l'un fji I autr**. t'-tle w]ijatîorj r*'pr»-^*-r.te aiie dr«>.te pa>$ant par Torigine; en *rffel. on peut toujours la nrwjijire par rappM>rt a y. et rêerire sous la fornie
3 y -- mx :
Viit M un point quelconque dont \f^ coonlonnêes satisfont à cette équation, posons OM =f- et déxîirnon^ par x l'an:; le que fait OM avec Ojt : cet an^le e<it déterni i né par If s équations I . et celles-ci montrent
que \^% est égale à -^; comme ce rapport, d'après l'équation 3, a
pipiiT %alf'ur /n , on en conclut que t<r z = m . et par suite Tangle s a, a un multiple entier de -z près, la même valeur pour tous les points delà lif^ne repré«*entée par l'équation 3 : dès lors cette ligme est une droite passant par l'origine, l'angle de cette droite avec Ox étant donné par t(f X —m.
Four constniire la droite représentée par l'équation 3\ le procédé le plus simple consiste a construire le point de cette droite dont Tabs-
cisse est égale à l'unité : son ordonnée est égale à m, et il suffit de le joindre à l'origine. On voit que si m est positif, la droite passe dans Tangle des coordonnées positives et dans l'angle opposé 'fig. 21 ; jr si ni est négatif, elle passe dans les deux autres angles pg. 22\
Par exemple, l'équation y = x représente la bissectrice des deux premiers angles, et l'équation y = — x, la bissectrice des deux autres.
4" Considérons enfin le cas général : soit (fig. 23) une droite quelconque ï) ; désignons par xq et i/o les coordonnées d'un point particulier Mo de cette droite et par a l'angle que fait avec Ox un sens positif choisi sur elle. Si x et y sont les coordonnées d'un point M
If
Fig. 22.
de la droite, et p la valeur du segment MqM , on a, en appliquant le
théorème du n** 78,
(4) X — Xo = pcosa, y — î/o = psina;
on en déduit entre x et y Téquation
x — xo y — yo
cosa
sina
que l'on peut encore écrire
3/— xtga-+-î/o — a^otga;
Fig. 23. on voit que Téquation est du premier
degré entre x et y . Ordinairement, on choisit pour Mo le point B où la droite coupe Taxe Oy , de telle sorte que Xo est nul, et Téquation prend la forme simple
y=xiga-hyo'
Réciproquement, nous allons montrer qu'une équation quelconque du premier degré représente une droite. La forme générale d'une telle équation est
Ax -i- By -h C = 0 ;
si un ou plusieurs des coefficients Â, B, C sont nuls, nous nous trouvons dans un des cas simples déjà examinés; nous n'avons donc qu'à nous occuper du cas général.
Résolvons l'équation par rapport à y ; nous avons
en posant — — = m et — — = A, nous pouvons l'écrire
y = mx -h h .
Nous voyons déjà que la ligne représentée par cette équation passe par le point B de l'axe des y d'ordonnée h, car les coordonnées a: = 0 et y = h de ce point satisfont à l'équation (7). Soit M un autre point de la ligne, dont les coordonnées x et y satisfont à cette
équation; posons (BM) ^= p, et désignons par a Tangle de BM avec Ox ; nous avons
a: = pcosa, y — A = psina,
et nous en déduisons que tgx est égal à ^ , c'est-à-dire à m.
Nous en concluons, comme au troisième cas, que Tangle de BM avec Oa: est le même pour tous les points M de la ligne, et que cette ligne est une droite.
82. Coefficient angulaire d*uiie droite. — Lorsqu'on écrit une équation du premier degré entre x ei y sous la forme (7), le coefficient m s'appelle coefficient angulaire de la droite, et h son ordonnée à Vorigine\ le premier de ces deux nombres détennine en effet la direction de la droite, et est égal à la tangente de son angle avec Taxe des x, le second est l'ordonnée du point où elle coupe Oy. Lorsque Ton donne une équation quelconque du premier degré, le coefficient angulaire est le coefficient de x dans l'équation résolue par rapport à y.
Des droites parallèles entre elles ont même coefficient angulaire,
et réciproquement; pour que deux droites représentées par les équations
générales
Ax+B^ -f C =0,
A.rH-B>H-C = 0 soient parallèles, il faut et il suffit que l'on ait
83. Construction d'une droite. — Pour construire la droite représentée par une équation donnée telle que (6) on peut la résoudre par rapport à y y et se servir de l'angle a déterminé par le coefficient angulaire m, ainsi que de l'ordonnée à l'origine h ; il est plus simple de déterminer deux points de la droite, et de les joindre ensuite. On choisit ordinairement les points où la droite coupe Ox et Oy ; le premier a une ordonnée nulle; en faisant .y = 0 dans l'équation (6), on
a pour valeur de son abscisse x = ; de même, le deuxième a une
abscisse x égale à zéro, et son ordonnée est i/ = — — .
Considérons par exemple la droite représentée par l'équation en résolvant cette équation par rapport à y, et récrivant
nous voyons que le coefficient angulaire de la droite est égal à -^» et
son ordonnée à Torigine égale à 3. Pour la construire, nous remarquerons plutôt qu'elle coupe Taxe Oj en un point A dont l'ordonnée 1/ = 0, et dont Tabscisse x = — 2, et Taxe Oy en un point B dont Tabscisse iT = 0 et dont l'ordonnée y = -f 3 (/?</. 23) ; elle est complètement déterminée par ces deux points.
Il faut bien remarquer que la situation d'une droite dans le plan dépend uniquement des coefficients de son équation, et nullement de j- et «/ ; ces deux variables sont des auxiliaires de calcul que l'on appelle souvent coordonnées courantes lorsque le point qu'elles déterminent reste variable.
L'équation d'une droite sert, d'une part, par ses coefHcients, à fixer la position de cette droite ; d'autre part elle sert à calculer les coordonnées de certains points choisis sur elle, ces coordonnées étant toujours liées par l'équation; si l'on donne par exemple l'abscisse j.— 2 d*un point de la droite représentée par l'équation (ÎJ), son ordonnée est égale à
M. Formes particulières de réquation d^une droite. — A chaque manière de définir géométriquement une droite dans un problème correspond souvent une méthode particulière pour former rapidement son équation ; nous allons en indiquer quelques-unes.
l** Si la droite est donnée par sa direction et par un de ses points, on emploie Téquation (5), qui s'écrit encore
en désignant par m le coefficient angulaire.
2° Si la droite est donnée par deux de ses points, de coordonnées
iOi
(j^c.yo) et (xi, yi), on obtient son coefficient angxilaire m en écrivant que la ligne représentée par Téquation (10) passe par le point (j*i, t/i) ; on a ainsi
yi—yo^'n{xi — Xo)',
en tirant m de cette dernière relation pour la porter dans la précédente, on a réquation cherchée.
yi — yo
on peut remarquer que Téquation suivante, dont le premier membre est écrit sous forme de déterminant,
xo yo
^1 yi
est la même que la précédente; il suffirait, pour le constater, de développer le déterminant ; la dernière est commode pour écrire d'une manière symétrique que trois points (x^ i/), (xq, ,yo). (-^h 2/0 sont en ligne droite ; il faut et il suffît en eiïet que Téquation (12) soit satisfaite.
3** Supposons en particulier qu'on donne Tabscisse a du point A. où la droite coupe Ox, et Tordonnée b du point B où elle coupe Oy ; il suffit de faire, dans Téquation (U), Xo:=a, ^o = 0»
X, =-i: 0, .yi = b ; on trouve ainsi l'équa-
tion simple
Fig. 24.
4° Si Ton abaisse de l'origine 0 une perpendiculaire OP sur une droite D [fig. 24), la connaissance du segment OP suffit pour déterminer complètement cette droite. Considérons sur la perpendiculaire une direction positive OD' et désignons par a' et ^' les angles qu'elle fait avec Ox et 0^.
Désignons de plus par p la valeur algébrique du segment OP.
Soit M un point quelconque de la droite D, de coordonnées (a-, y); Ja projection du serment OM sur OD' est égale à p; nous allons l'évaluer en appliquant la formule (8) du n° 71 ; comme les projections de OM sur les axes sont égales aux coordonnées x et y, nous avons la relation
X cos a' -h y ^os p' =p .
On représente ordinairement a' par w; p' est égal à -^ — o),
si
à un multiple près de 21: ; • la relation précédente s'écrit alors
X cos (0-1- y sin co — p = 0 .
C'est réquation de la droite D ; sous cette forme particulière, on dit que c'est Véquation normale de cette droite.
85. Intei*section de deux droites. — Les coordonnées du point commun à deux droites représentées par les équations générales
Ax -f-By -f C =0, A'x -+- B'jr -4- C = 0
sont les valeurs de x et de y qui satisfont à la fois à ces deux équations ; il suffit donc, pour les trouver, de résoudre ce système d'équations du premier degré à deux inconnues, comme nous l'avons fait au § 1. Inversement, pour résoudre graphiquement deux équations du premier degré, on construira les deux droites représentées par ces équations, et on évaluera les coordonnées de leur point commun.
Si AB' — BA' n'est pas nul, il existe une solution et une seule, et les droites ont un seul point commun. Si AB' — BA' est nul, le
système est impossible ou indéterminé. Ce dernier résultat est facile à
A B interpréter, car la condition AB' — BA' = 0 entraîne -77 — Iv" ^^
elle exprime que les deux droites données sont parallèles ou confondues ; elles n'ont alors aucun point commun ou en ont une infinité. L'équation
(Ax-f- By -4- C) -+- X ( A'x -f- B'y -4- C) -= 0
représente, lorsque l'on donne à a différentes valeurs, des droites (|ui passent toutes par le point commun aux deux droites données.
86. Angle de deux droites. — Droites perpendiealaires. — L'angle <le deux droites est égal à la différence des 'angles a et a formés par ces droites avec Taxe des x ; si on le désigne par V, on a
^ ° • ' 1 -h Ig X tg a
mais tg ï et tg x sont égaux aux coefficients angulaires m et m' des deux droites ; on a donc
t\2) tgV='"'-'"
