h- mm
Pour que deux droites soient perpendiculaires, il faut et il suffît <|ue tgV soit infini, c'est-à-dire que m et m' satisfassent à la condition
on en tire
ce que Ton énonce de la façon suivante : Le coefficient angulaire (l'une perpendiculaire à une droite est égal à Vinverse changé de signe du coefficient angulaire de cette droite.
Comme exemple, cherchons Téquation de la perpendiculaire issue du point de coordonnées (1,4) à la droite représentée par Téquation
(9); on a
l'équation cherchée est alors, en appliquant Téquation (10),
Comme autre exemple, la perpendiculaire abaissée d'un point Mo (!e coordonnées (j-q, î/o) sur la droite représentée par
\x-hBg-]-C = 0,
a pour coefficient angulaire l'inverse changé de signe de — — * c'est-à-
dire , et Ton peut écrire son équation sous la forme
^ — ^o^.V — -Vo
Remarquons que si Ton désigne par t! et p' les angles formés avec les axes par une direction positive choisie sur cette perpendiculaire,
P' est le complément de a', et a' est donné par la relation tga' = -7-'» on en conclut que Ton a
cos a' =
cos ^' = sin a' =
div'AM B'
les deux radicaux étant affectés du mcme signe.
87. Distance d'un point à une droite. — Soit MqP {/?</. 25) la perpendiculaire abaissée d'un point Mo de coordonnées (o-q, .yo) sur
une droite 1) , et soit Xx-\ B^ -h C = 0 y \D Féquation de cette droite.
Pour évaluer la longueur de cette perpendiculaire, que nous désignerons par d, nous remarquerons qu'elle est égale à la valeur absolue de la projection sur Mo? d'un segment MqM joignant Mo à un point quelconque M de la droite. Les cosinus des angles formés par MqP avec les axes sont donnés par les Kig. 25. formules (14) du n** précédent ; d'autre
partie segment MqM a pour projections sur les axes, les différences x — Xq. y — y^: nous aurons alors, en appli<|uant la formule (8) du n° 71,
J = val. abs. der^-^-)^lt!j^->y")^i
zhy/A^^B^
Mais Aor-f-Bi/ est égal à — C d'après l'équation de la droite; nous aurons alors, en remplaçant A.T-hB</ par cette valeur.
Kxq -h B;yo -^ C .
^^S^^it
nous choisirons devant le second membre un signe tel que la valeur obtenue pour d soit positive.
88. Équation homogène. — Considérons une équation homogène et du second degré en x et y , écrite sous la forme générale
Ax2 -h 2Bxy H- C^'^ = 0 ;
nous allons montrer qu'elle représente deux droites. Si nous divisons en effet par x^ les deux membres, nous avons une équation du second
degré en -^ ,
i^ïMî
qui a deux racines ; si nous les désignons par mi et m^, nous voyons
que réq nation est satisfaite quand on pose ^ = mi
ou i = m^ .
Nous en concluons qu'elle représente deux droites passant par Torigine et de coefficients angulaires mi et m2.
Remarquons que ces coefficients angulaires sont les racines de l'équation
Cm2 4- 2B/n -h A = 0,
obtenue en remplaçant dans Téquation donnée x par i et î/ par m .
Ces résultats s'étendent à une équation homogène de degré quelconque ; elle représente des droites passant par Torigine et en nombre égal au degré de Téquation.
Lorsqu'on a les équations de deux lignes quelconques f{x, y)^0 et o{x, y)=:0, et qu'on en déduit une combinaison renfermant x et y d'une manière homogène, cette dernière équation représente des droites passant par l'origine ; elle est satisfaite d'autre part par les valeurs de a; et y qui satisfont aux équations données, c'est-à-dire par les coordonnées des points communs aux deux lignes ; elle représente par suite l'ensemble des droites joignant l'origine aux points communs à ces deux lignes.
Par exemple, les droites joignant l'origine aux points communs aux deux courbes représentées par
.s «iS
^ + 1^-1=0, a:^4-i/* = RS
ont pour équation la suivante :
on la forme en divisant par R^ les deux membres de la seconde et retranchant membre à membre les équations obtenues.
r.HAPITRE Y
ÉQUATIONS USUELLES DES LIGNES DU SECOND ORDRE
89. Circonférence. — Nous avons déjà \u .n" 77, 3* cas) que l'équation d'une circonférence ayant pour centre l'origine et dont le rayon est égal à R est
En général, si une circonférence a pour centre un point donné de coordonnées [xo. yo) et pour rayon R, nous obtiendrons son équation en écrivant que le carré de la distance d'un point (j-, y) de la courbe au point ^x^, yo) est égal à R- ; nous aurons de cette façon la relation
(x — XqY -u (y — yo)^ r^ R^ .
En faisant passer tous les ternies dans le premier membre et ordonnant, nous l'écrirons
^2 4-y^ — 2x^ — 2yoy-^Xo'-^yo' — R* = 0;
c'est l'équation de la circonférence.
Nous voyons que c'est une équation du second degré, mais elle n'est pas de la forme la plus générale, car il n'y a pas de terme en xy ,. et les coefficients de x'^ et de y^ sont égaux.
Nous allons montrer, réciproquement, que toute équation du second degré dans laquelle le coefficient de xy est nul, et les coefficients de x^ et de y^ égaux, représente une circonférence. Si nous divisons en effet les deux membres par le coefficient de x^, nous pouvons toujoiu^s écrire une semblable équation sous la forme
(l) x' -h y' -h2ax-h2by-^-c = 0;
ÉCLATIONS ISIKLLES DKS LIGNES DU SKCOND ORDRE
llî
nous pouvons la remplacer par
et sous cette forme elle exprime que la distance du point [x, y) au point ( — w , — b) est constante et égale à ^a'^-\~b^ — c ; elle représente bien une circonférence.
Pour construire la circonférence représentée par Téquation (1), on détermine son centre, dont les coordonnées sont — a et — b, et son rayon, qui est égal à ^a^ -f- b^ — c ■
90. Équation de Tellipse. : — L'ellipse est le lieu d'un point M dont la somme des distances à deux points fixes F et F' appelés foyers est constante. Nous désignerons par 2c la distance de ces deux points, et par 2a la somme constante MF -h MF' ; on a a^c; nous poîCrons enfin b = sfa^ — c^.
Nous allons chercher Téquation de l'ellipse rapportée à deux axes de coordonnées Ox et 0^ (/îy. 26) dont l'un est confondu avec FF'
et dont l'autre est la perpendiculaire au premier menée par le milieu de FF' ; si x et y B ^ sont les coordonnées d'un point
M de la courbe, nous avons
/ MF'* = (x4-c)'^-hi/--.
Nous allons calculer séparément MF et MF' en nous servant des expressions précédentes et de la relation fonda- Fig. 26. mentale
(2) MF-f-MF''==2a;
si nous formons la différence MF — MF , elle a pour valeur Kcx d'après les équations (1); nous pouvons déduire de là la valeur de MF' — MF :
MF' — MF- Kcx
ta
