MF' H- MF

Les relations (2) et (3) donnent par addition et soustraction (4) MF' = a-4-— 1 MF = a — — ;

en remplaçant dans l'une des équations (1), par exemple dans la première, MF par la valeur que Ton vient de trouver, on trouve Féquation de la courbe ; elle est

ou bien

« — -) =[x-^cf^y\

^2 ^ ^JL = 3,2 | c* -+- y* ;

en y remplaçant c* par a* — 6^, réunissant tous les termes dans un même membre et divisant les deux membres par 6^, on obtient Téquation sous la forme

que nous considérerons désormais.

91. Construction de Tellipse. — Pour construire la courbe représentée par l'équation précédente, nous résoudrons cette équation par rapport à y, ce qui nous donne

(6) y = ±Jt/a»-x»;

y n'est réel que si x est compris entre — a et -{-a\ lorsque l'abscisse varie entre ces limites, la valeur absolue de l'ordonnée est d'abord nulle, puis croît jusqu'à 6 pour a: = 0, puis décroît pour redevenir nulle. A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires, c'est-à-dire deux points de la courbe symétriques par rapport à Taxe des x ; la courbe se compose ainsi de deux parties égales A'BA, A'B'A, comme l'indique la figure 26.

Remarquons que deux valeurs de x égales et de signes contraires donnent lieu aux mêmes valeurs de y, de sorte que les points sont deux à deux symétriques par rapport à Oy ; d'un point M on déduit trois autres points Mi, M2, Mj par symétrie par rapport aux deux axes.

ÉQUATIONS USUELLES DES LIGNES DU SECOND ORDRE

On en conclut que les points de la courbe sont deux à deux symétriques par rapport à Torigine 0, comme le sont M et Ms.

Les segments AA' et BB' compris entre les points de rencontre de Tellipse avec Ox et Oy sont appelés grand axe et petit axe de la courbe ; leurs longueurs sont 2a et 2b ; leurs extrémités sont les sommets, et leur point de rencontre 0 est le centre de Tellipse.

92. Cercle principal. — On appelle cercle principal de Tellipse le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre ; il a pour équation

Désignons par y et par yx les ordonnées, supposées de même signe, de deux points M et Mi de Tellipse et du cercle principal correspondant à une même abscisse a: = (OP) [fig,21)\ y est donné

par Féquation (6) et yi est égal à =i= v^x^ — a^ \ on en déduit

cette équation exprime que les ordon^ nées des points de Tellipse s'obtiennent en réduisant les ordonnées correspondantes des points du cercle principal dans le rapport de 6 à a ; cette remarque permet de construire autant de points que Ton veut de la courbe.

Les coordonnées x et yx du point Mi s'expriment au moyen de l'angle ^ = (OA, OMi) par les formules

X = a cos ^, yi = ^ sin 9 ;

on en conclut que les coordonnées des points de Tellipse ont pour valeurs

x = a cos cp, y =^f^ sin f ;

93. Équation de l'hyperbole. — L'hyperbole est le lieu d'un point M dont la différence des distances à deux points fixes F et F' appelés

VoGT. — Math. sup. 8

Fig. 27.

'vr^^'..

î^li

foyers est constante. Nous désignerons par 2c la distance de ces deux points, et par 2a la difîérence constante, a étant <;^; nous poserons enfin h = sjc^ — a*.

Nous allons chercher Téquation de la courbe rapportée à deux axes

de coordonnées Ox, Ot/ y ,, . [fig, 28), dont Tun est

confondu avec FF' et dont Tautre est la perpendiculaire à FF' en son milieu, et nous opérerons comme dans le cas de Tellipse.

Nous avons, pour tout point M de coordonnées [x, y).

Fig. 28.

MF' = (a: — c)«-h.V«, MF' = (xH-cl^-f-y-

mais nous devons distinguer les points plus rapprochés de F que de F' de ceux qui sont plus rapprochés de F' que de F.

Considérons d'abord les premiers ; ils ont tous une abscisse positive ; pour chacun d'eux, on a

MF' — MF = 2a,

et, par le même raisonnement que dans le cas de Tellipse, en formant la différence MF^ — MF^ = ^cx^ on trouve

2cx.