MF

MF'r= — -4-a.

Soit maintenant Mi un des autres points, plus rapprochés de F' que de F ; ils ont tous une abscisse négative ; Ton a cette fois

MiF — M,F' = 2a;

comme MTF^ — MjF'^ est égal à — 4cx, on trouve pour MiF-f-MiF'

la valeur

2 ex

ÉQUATIONS USUELLES DES LIGNES DU SECOND ORDRE H5

et Ton tire de ces deux relations

(8) M,F = — -^-hfl, MiF' = — — -a;

ces valeurs sont bien positives parce que x est négatif.

Si Ton écrit que HP^ ou M|F^ sont égaux à [x — c)*-hî/*, on obtient une même relation entre x et y , elle est

ou bien

flx -h --- = x^ -+- c' -h y * ;

si l'on y remplace c* par a* -f- 6*, si Ton réunit tous les termes dans le même membre et si Ton divise enfin par 6*, on obtient Téquation de Thyperbole sous la forme

on voit qu'elle diffère de Téquation de Tellipse en ce que b^ est remplacé par — 6^.

94. Construction de Thyperbole. — Pour construire la courbe représentée par cette équation, nous la résoudrons par rapport à y y ce qui nous donne

(10) y=:ih-/x« — a^;

y n'est réel que si x est supérieur à a en valeur absolue ; si x varie de — a à — <x> ou de -f- a à -f- oo , la valeur absolue de y augmente de zéro à -+- oo . La courbe se compose de deux branches infinies distinctes; elle admet, comme Tellipse, les deux axes de coordonnées comme axes de symétrie et Torigine comme centre ; elle a deux sommets A et A' sur Ox [fig, 29).

Si nous supprimons dans Téquation (9) le terme constant, nous obtenons une équation homogène

qui représente deux droites ; leurs équations écrites séparément sont

et y =

Fig. 29.

Ces droites sont les diagonales d'un rectangle EFGH dont les côtés sont parallèles aux axes et ont pour longueurs AA' = 2a et BB' = 2b; elles sont appelées asymptotes de Thyperbole, et elles jouissent de cette propriété que les branches de la courbe s'en rapprochent indéfiniment au fur et à mesure qu'on s'éloigne des sommets.

Nous allons démontrer en effet que si l'on considère un point M de l'hyperbole, et le point Mi de l'une des asymptotes ayant même abscisse OP et une ordonnée de même signe que celle de M, la différence MM2 entre les deux ordonnées tend vers zéro lorsque OP augmente indéfiniment. En supposantes abscisses et les deux ordonnées positives pour fixer les idées, nous avons pour leurs valeurs

et pour leur différence

ÉQUATIONS USUELLES DES LIGNES DU SECOND ORDRE 117

en multipliant et divisant le second membre par la quantité conjuguée de la parenthèse, nous obtenons

et le second membre tend bien vers zéro lorsque x augmente indéfiniment, ce qui démontre la proposition.

Une hyperbole est dite équilatère lorsque ses asymptotes sont rectangulaires ; pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que a soit égal à 6.

95. Hyperboles con|uguées. — Si Ton change dans Téquation (9) X en î/ et a en h, on obtient Téquation d'une hyperbole dont Taxe focal est égal à 26 , et dirigé suivant Taxe des y ; elle peut s'écrire

et l'on voit sous cette forme qu'elle ne diffère de (9) que par le changement de signe du terme constant.

Cette hyperbole a les mêmes axes et les mêmes asymptotes que la première ; elle a pour sommets les points B et B', et elle est représentée en pointillé dans la figure 29 ; les deux hyperboles représentées par les équations (9) et (il) sont dites conjuguées; AA' est dit Taxe transverse de la première, et BB' l'axe transverse de la seconde.

96. Hyperbole rapportée ù. ses asymptotes. — Construisons la courbe représentée par l'équation

xy^^k,

où k est supposé positif. En résolvant par rapport à y , nous avons

lorsque x varie en croissant de — oo à 0, y est négatif et

décroît de 0 à — oc ; lorsque x varie de 0 à -hoc , y est positif et décroit de -h oc à 0 ; la courbe représentée par Téquation a la forme indiquée dans la figure 30 ; elle a pour asymptotes les deux axes des x et des y ; nous verrons qu'elle ne diffère pas d'une hyperbole équilatère dont on aurait pris les asymptotes comme axes de coordonnées.

97. Parabole. — La parabole est le lieu d'un point M équidistant

Fig. 30.

Fig. 31.

d'un point fixe F appelé foyer et d'une droite fixe DA appelée directrice.

Prenons comme origine 0 [fig. 31) le milieu de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice, comme axe des x la droite dirigée du point 0 vers le foyer et comme axe des y la perpendiculaire menée par 0 à cette droite. En désignant par p le paramètre de la parabole, c'est-à-dire la distance du foyer à la directrice, nous voyons

que l'abscisse du foyer est ^ , et celle de la directrice — ^ ; les dis-

tances MF et MH d'un point M de coordonnées (a?, y) au foyer et à la directrice sont égales à

MH = a: -f- ^

ÉQUATIO>'S USUELLES DES LIGNES DU SECOND ORDRE 119

en écrivant que les carrés de ces distances ont la même valeur, nous avons la relation

après simplification, nous obtenons Téquation de la parabole sous la forme

(13) y^ — 2px = 0.

En la résolvant par rapport à y , nous avons

y = ±\/2px ;

y n'est réel que si x est positif; lorsque x augmente de 0 à -l-oo, la valeur absolue de y augmente aussi de 0 à -h oo ; à chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires ; nous en concluons que la courbe admet comme axe Taxe des x. Elle passe par Torigine 0, qui est appelé sommet, et Taxe Oy est appelé la tangente au sommet de la courbe.

La circonférence, Tellipse, l'hyperbole et la parabole que nous avons considérées dans ce chapitre sont désignées souvent sous le nom général de coniques, parce qu'elles sont identiques aux sections planes d'un cône de révolution. Nous démontrerons dans une note, à la fin du volume, que toute courbe du second ordre ne diffère pas de Tune des précédentes ; c'est de là que vient le nom de conique donné ordinairement à toute courbe du second ordre.