CHAPITRE I

ÉQUATIONS LINÉAIRES A DEUX INCONNUES. — DÉTERMINANTS

1. Résolution de deux équations linéaires à deux inconnues. —

Considérons deux équations du premier degré à deux inconnues x et y, écrites sous la forme générale

( ax-\-bu ^ c, (i) ) '^

^ ^ ( a'x-hb'y = c\

Supposons que les coefficients des inconnues a, b, a', b' ne soient pas tous les quatre nuls et que a, par exemple, soit différent de zéro ; on peut tirer la valeur de x de la première équation et la porter dans la seconde ; on forme ainsi un système équivalent au premier :

c — bu x = ^,

Dans ce système, la deuxième équation ne renferme que Tinconnue VocT. — Math. sup. 1

2 COMPLÉMENTS DALGÉBEtE

y ; en chassant le dénominateur a qui n'est pas nul, on écrira cette équation sous la Tonne

(3) [ab' — ba') y = ac' — ca' .

Différents cas peuvent se présenter.

1° Si ab' — ba' n'est pas nul. l'équation (3) est satisfaite par une seule valeur de y égale à - ■ ■ ■; ■ et la première des équations(2) fournit une seule valeur correspondante de x qui, tous calculs faits,

est égale à -y-, ï— ,- lesyslème(l) a donc une solution et une seule,

et elle est exprimée par les formules

ab' — ba' ab' — ba'

2° Si ab' — ba' est nul sans que ne' — ca' le soit, l'équation (3) n'est satisfaite par aucune valeur de t/, et le système donné n'a aucune solution ; on dit qu'il est impossible.

3" Si ab' — ba' et oc' — ca' sont tous les deux nuls, l'équation (3) estsatisfaitequellequesoit la valeur de y ; ou en conclut que le système donné à une infinité de solutions ; on peut donner à y une valeur arbitraire, et la première des équations (2) fournit une valeur correspondante de j; on dit que le système (1) est indéterminé.

Dans ce cas, les coefficients et les termes connus satisfont à la condition

a' b' c' et cb' — bc' est aussi nul.

Lorsque les quatre coefTicients a, b, a', b' sont nuls, on voit immédiatement que les équations données n'ont aucune solution si c et c' ne sont pas tous les deux nuls, et en ont une infinité si les termes connus sont nuls ; on peut dans ce dernier cas attribuer à x et à t/ des valeurs arbitraires.

Remarquons que dans ces derniers cas ab' — ba' est nul ; on peut réunir tous les résultats précédents et les énoncer sous la forme suivante :

Si al' — ba' n'est pas liai, le syatème {{) a une seule solution

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fournie par les formules (4); si dU — 6a' est nul^ ce système est impossible ou indéterminé,

2. Équations homogènes. — Si les termes constants c et c' sont nuls, on dit que les équations (1) sont homogènes. Il résulte de ce qui précède que si ab' — ba' n'est pas nul, elles n'ont d'autre solution que X = 0, 1/ = 0 ; si au contraire ab' — ba^ est nul, elles ont une infinité de solutions, et Ton peut attribuer une valeur arbitraire, différente ou non de zéro, à Tune au moins des deux inconnues. On arrive ainsi à la conclusion suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux équations homogènes à deux inconnues aient une solution où les inconnues ne soient pas toutes les deux nulles est que ab' — ba' soit nul; les équations ont alors une infinité de solutions,

3. Déterminant du second ordre. — On représente la quantité ab' — ba' par la notation

que Ton appelle un déterminant de second ordre. Les quatre nombres a, b, a', b'y que Ton appelle les éléments du déterminant, sont disposés suivant un carré placé entre deux traits verticaux ; le déterminant renferme deux lignes horizontales et deux colonnes verticales ; la première ligne est toujours celle du haut et la première colonne celle de gauche.

Par définition, la valeur d'un déterminant du second ordre est la différence des produits en croix de ses éléments, en commençant par celui qui est placé en haut et à gauche, comme Tindique l'équation

= ab' — ba' ,

Les deux parties du second membre sont appelées les termes du déterminant.

4. Les numérateurs des formules (4) peuvent être écrits sous forme

COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

de déterminants ; avec cette notation, les valeurs de x et de y sont données par les formules

Les résultats que nous avons obtenus relativement à la résolution de deux équations linéaires peuvent être énoncés de la façon suivante :

Supposons que Ton écrive deux équations linéaires à deux inconnuesde façon que les termes renfermant les inconnues soient placés dans les premiers membres et les termes constants dans les seconds ; formons, le déterminant des coefficients des inconnues et désignons-le par D.

Si D n'est pas nul, les équations ont une seule solution. Les valeurs des inconnues sont exprimées par des fractions dont le dénominateur commun est le déterminant D ; le numérateur de la valeur de chaque inconnue est un déterminant que Von déduit du dénominateur en y remplaçant les coefficients de cette inconnue par les termes connus correspondants.

Si D est nul, le système des équations est impossible ou indéterminé.

Si les équations sont homogènes, la condition nécessaire et suffisante pour qu'elles aient une solution où les inconnues ne soient pas toutes nulles, est que le déterminant D soit nul; les équations onl alors une infinité de solutions.

Exemple. — Soit à résoudre le système

Le déterminant des coefficients des inconnues est

il n'est pas nul, et le système a une solution ; les numérateurs des valeurs de j: et de y sont respectivement

ÉQUATIONS LINÉAIRES A DEUX INCONNUES. DÉTEKMINANTS 5

<le sorte que l'on a

^""li" 7 ' •^~ 14 "" 7

5. Élimination de deux Inconnues entre trois équations linéaires.

— Ëliminer une ou plusieurs inconnues entre des équations dont le nombre surpasse celui de ces inconnues, c'est former les conditions que doivent remplir les coefficients pour que ces équations admettent au moins une solution commune ou, comme on dit, soient compatibles.

Considérons trois équations linéaires à deux inconnues, écrites sous la forme

!ax -h hy = c , a'x-hb'y=c\ a'x -h h" y = c" ,

et cherchons dans quelles conditions elles seront satisfaites pour un même système de valeurs de x et de y.

Lorsque ah' — ba' n>st pas nul, les deux premières ont une solution fournie par les formules (4) ; en écrivant qu'elle satisfait à la troisième, on obtient la condition suivante :

a\ch' — bc') -h b'iac' — ca') = c\ab' — ba') .

Si ab' — ba' est nul, il ne peut exister de solution commune aux trois équations que si les deux premières ne sont pas impossibles, ce qui exige que cb' — bc' et ac' — ca' s.oient tous les deux nuls ; dans ce <*as, la condition prt'»cédente est encore remplie ; c'est donc, dans tous les cas, une condition nécessaire.

Nous dirons qu'elle est le résultat de l'élimination des deux inconnues X et y entre les trois équations. Nous l'écrirons, en faisant passer tous les ternies au second membre, sous la forme

(7) ab'c" -f- bc'a" H- ca'b' — cb'a" — ac'b" — ba'c" = 0 .

6. Déterminant du troisième ordre. — Nous représenterons le premier membre de l'équation précédente par la notation