C COMPLÉMENTS D*ALGÈBRE

abc

que nous appellerons déterminant du troisième ordre. Il possède neuf éléments disposés en carré entre deux traits verticaux ; ces éléments sont rangés dans trois lignes et dans trois colonnes; on appelle première ligne celle du haut et première colonne celle de gauche. Par définition, la valeur de ce déterminant est

(9) D = ab'c" -4- bc'a' -h ca'b' — cb'a" — ac'b" — ba'c\

et elle se compose de six produits ou termes dont trois sont additifs et trois soustractifs. Pour les former facilement, on opère de la façon suivante :

Écrivons à la suite des colonnes du déterminant deux autres colonnes qui sont la répétition de la première et de la seconde, et formons le tableau

Considérons la diagonale issue du premier élément en haut et gauche a et contenant a^ b' et c" ainsi que les deux lignes parallèles à cette diagonale issues de b et c, puis formons les produits

ab'c\ bc'a", ca'b"

des éléments situés dans ces lignes ; considérons de même la diagonale du déterminant dirigée dans l'autre sens et issue de c, ainsi que les lignes parallèles à cette diagonale issues des éléments suivants a et by puis formons les produits

cb'a\ ac'b", ba'c'

des éléments situés dans ces lignes; la valeur du déterminant est formée des trois premiers produits pris avec le signe -f- et des trois derniers pris avec le signe — .